connexité par arcs

[Pac56]

Soient \( a = (-1, 0) \), \( b = (1, 0) \) et les fonctions
\[
\gamma :
\begin{cases}
[0,1] \to \mathbb{R}^2 \\
t \mapsto (3 \cos \pi t, \sin \pi t)
\end{cases}
\quad \text{et} \quad
f :
\begin{cases}
[0,1] \to \mathbb{R} \\
t \mapsto \|a - \gamma(t)\|^2 + \|b - \gamma(t)\|^2.
\end{cases}
\]

Démontrer qu'il existe un \( t_0 \) de l'intervalle \( [0, 1] \) tel que \( f(t_0) = \min_{t \in [0,1]} f(t) \).
En fait, je viens d'avoir cours sur la connexité par arcs et le prof nous a donné cet exercice ( qui donc à mon avis doit se résoudre avec cette nouvelle notion abordée). On peut le résoudre avec le théorème des bornes atteintes mais par contre je vois pas trop comment utliser la connexité par arcs.
Avez-vous connaissance d'un lien que l'on pourrait faire entre connexité par arcs et recherche de minimum ?

[U46406]

D'après ton autre discussion, tu es actuellement en licence(s) L2 de mathématiques, donc pas en prépa.

As-tu essayé de poser ta question sur d'autres forums sur d'autres sites spécialisés dans l'entraide universitaire (je ne sais plus trop lesquels : Futura Sciences, et île des maths) ?

[unpassant]

Soient \( a = (-1, 0) \), \( b = (1, 0) \) et les fonctions
\[
\gamma :
\begin{cases}
[0,1] \to \mathbb{R}^2 \\
t \mapsto (3 \cos \pi t, \sin \pi t)
\end{cases}
\quad \text{et} \quad
f :
\begin{cases}
[0,1] \to \mathbb{R} \\
t \mapsto \|a - \gamma(t)\|^2 + \|b - \gamma(t)\|^2.
\end{cases}
\]

Démontrer qu'il existe un \( t_0 \) de l'intervalle \( [0, 1] \) tel que \( f(t_0) = \min_{t \in [0,1]} f(t) \).
En fait, je viens d'avoir cours sur la connexité par arcs et le prof nous a donné cet exercice ( qui donc à mon avis doit se résoudre avec cette nouvelle notion abordée). On peut le résoudre avec le théorème des bornes atteintes mais par contre je vois pas trop comment utliser la connexité par arcs.
Avez-vous connaissance d'un lien que l'on pourrait faire entre connexité par arcs et recherche de minimum ?

C'est la seule question de votre exercice ? Car effectivement, outre le fait que \(\gamma\) et \(f\) sont des chemins, seules importent la compacité et la continuité, comme vous le dites, pour répondre.

L'exercice est aussi géométrique. L'image de \(\gamma\) est une demi-ellipse, et \(f\) mesure la somme des distances au carré de ses points à (1,0) et (-1,0), que l'on cherche à minimiser.

En tout cas n'hésitez pas à poster si vous avez du nouveau.