Problème de topologie algébrique

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Bonjour,

je suis élève en sup et je me suis posé quelques questions de topologie algébrique auxquelles je n'arrive pas à répondre.

1. Pour une partie convexe bornée de R^2 donnée, existe-t-il forcément lacet simple dont sa frontière est l'image ?

2. Soit A une partie de R^2 bornée dont l'intérieur est non vide, non convexe et connexe. On note V l'ensemble des parites convexes de A. Montrer ou réfuter les assertions suivantes.
$$ a) \exists M \in V \mid \forall B \in V \backslash \lbrace{M}\rbrace , M \backslash B \ne \emptyset $$
Pour un tel M,
$$ b) \exists (a, b) \in \partial M \mid a \ne b, [a, b] \subset \partial M $$