Compacts de R

[Finn]

Bonsoir,
Quelqu'un pourrait-il me donner une explication de ce que sont les compacts dans R? Je n'arrive pas à le concevoir (intervalles, segments, points, réunion des 3? ou d'autres parties?)
Merci.

[jojo]

Bonjour,
les compacts de R sont les fermés bornés de R.
Concretement, ce sont les ensembles fermés inclus dans un ensemble [a,b].
On ne peut pas les lister exhaustivement je pense.
A+

[omamar3131]

Je pense qu'on peut aussi dire que c'est les unions finies d'intervalles férmés.

[Mû]

Je pense qu'on peut aussi dire que c'est les unions finies d'intervalles férmés.

Non. Par exemple, $ \{1/n: n \in \mathbb{N}\} \cup \{0\} $ est compact. Ou encore, l'ensemble triadique de Cantor (compact non dénombrable ne contenant aucun intervalle non trivial).
En revanche, les ouverts de $ \mathbb{R} $ sont les réunions dénombrables d'intervalles ouverts. Ainsi, les fermés sont les complémentaires de telles réunions, et les compacts ceux de ces fermés qui sont bornés.

(N.B.: l'équivalence compact $ \Leftrightarrow $ fermé borné est fausse dans les espaces vectoriels normés de dimension infinie).

[jojo]

(N.B.: l'équivalence compact $ \Leftrightarrow $ fermé borné est fausse dans les espaces vectoriels normés de dimension infinie).

Oui c'est trivial, mais même dans le cas général si on sort de R^n ou C^n, c'est faux.
En fait, on garde tout de même l'implication compacte -> fermé borné, dans les espaces métriques, et compact -> fermé dans les espaces topologiques.

omamar3131 a commis l'erreur classique, en confondant compact et continu, ie compact et compact connexe. Les compacts connexes de R sont effectivement de cette forme, du au fait que les connexes de R sont les intervalles.
A+

[Mû]

Oui c'est trivial, mais même dans le cas général si on sort de R^n ou C^n, c'est faux.
En fait, on garde tout de même l'implication compacte -> fermé borné, dans les espaces métriques, et compact -> fermé dans les espaces topologiques.

Effectivement, mais là on sort carrément du cadre du programme de la prépa

[jojo]

Salut,
oui c'est possible, mais mes années de prépa sont loin derrière moi, et je ne me souviens plus de ce que l'on y fait. Fait on un peu d'espaces métriques?
Je me rappelle que l'on avait étudié un genre de distance sur les matrice à l,aide du rang etc.
Ah la topo, c'est tellement beau

[Mû]

Salut,
oui c'est possible, mais mes années de prépa sont loin derrière moi, et je ne me souviens plus de ce que l'on y fait. Fait on un peu d'espaces métriques?

Ca e faisait il n'y a pas encore si longtemps en MP*... En gros, on ne fait que les espaces vectoriels normés, et encore, on n'a plus de notion de complétude

[cerise]

En gros, on ne fait que les espaces vectoriels normés, et encore, on n'a plus de notion de complétude

Si, si, la complétude, on a. C'est en PC et PC* qu'il n'y a plus.

[jojo]

Ca e faisait il n'y a pas encore si longtemps en MP*... En gros, on ne fait que les espaces vectoriels normés, et encore, on n'a plus de notion de complétude

Ca va peut être parraitre bizarre pour certains ce que je vais dire, mais si on ne parle plus te complétude, autant ne plus faire d'analyse ...
Il me semble que l'analyse se fait sur la base de certaines topologies, et en sup-spé ce sont les espaces métriques, et encore je suis gentil, c'est dans R^n ou C^n.
Beaucoup de théorèmes de mes bouquins de sup-spé que j'avais, énonçaient des résultats dans les cas d'espaces de Banach....

C'est triste...