Je me suis toujours posé une question sur le terme bijection :
Je donne la définition que je connais du mot bijection :
l'application $ f : E \rightarrow F $ est une bijection si pour tout élément $ \alpha $ de $ F $ admet un seul et unique antécédent $ a $ de $ E $.
Or lorsque nous avons étudié la fonction exponentielle en classe, la prof nous a dit :
.La fonction exponentielle qui a tout $ x \in \mathbb{R} $ associe $ e^x \in \mathbb{R^{*+}} $ est une bijection de $ \mathbb{R} $ vers $ \mathbb{R^{*+}} $
Or, ça me pose un problème :
Cela signifie que : $ \forall c \in \mathbb{R^{*+}} \quad \exists! \alpha \in \mathbb{R} $ tel que $ e^{\alpha}=c $
Mon problème ? C'est que $ \mathbb{R} $ contient plus d'élément que $ \mathbb{R^{*+}} $ (enfin pour moi, peut-être ai-je tort et donc mon problème ne se pose plus).
En effet, si la fonction exponentielle est effectivement une bijection de $ \mathbb{R} $ vers $ \mathbb{R^{*+}} $, alors si on prend n'importe quel valeur du premier ensemble, on doit en trouver une différente en faisant l'image de cette valeur par la fonction exponentielle... Or, pour moi il y a plus de valeurs dans le premier ensemble que dans le deuxième. (Je pars du principe que $ \mathbb{R^{*+}} \subset \mathbb{R} $ avec $ \mathbb{R}= ]-\infty;0] \cup ]0;+\infty[ $
Quelqu'un pour m'expliquer ? (Peut-être ai je peut-être tout faux aussi).
Merci beaucoup.
