Specrtoscopie par transformée de Fourier

[Pfloutch]

Bonjour,

en examinant les interférences produites par des sources non monochromatiques (classiquement le doublet spectral, la "porte" et le profil gaussien) , je me suis aperçu que le contraste qu'on obtient dans la formule donnant l'éclairement correspond à la transformée de Fourier du profil spectral.

Ce résultat est-il général ?

En fait, en faisant le calcul pour un profil quelconque, je suis arrivé à l'expression d'une transformée de Fourier, mais je n'ai pas réussi à faire sortir le cosinus qui apparait dans l'expression de l'éclairement...

Merci

[fakbill]

Bravo
Tu viens en gros de redécouvir le FTS : le fourier transform spectrograph.
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_tr ... ectroscopy
En optique on fait ca avec un Michelson en lame d'air : En deplacant un miroir tout en restant en lame d'air on obtient la TF du spectre de la source. Sans faire de calcul je pense que tu es dans la meme situation.

Le FTS est un classique de l'optique.

[Pfloutch]

mmh, Wikipédia ne me satisfait pas

En fait mon problème c'est plus précisément ça :

Je considère une source qui dans un petit intervalle de fréquence, émet avec une certaine densité spectrale de telle sorte que l'éclairement s'écrive : $ \mathrm{d}\varepsilon=\varepsilon_\omega(\omega)\mathrm{d}\omega $ avec $ \varepsilon_0= \int_{-\infty}^\infty \varepsilon_\omega(\omega)\mathrm{d}\omega $

Tout ces machins interfèrent, et j'obtiens un éclairement global : $ \varepsilon = 2\int_{-\infty}^\infty \varepsilon_\omega(\omega) \left(1+\cos(\frac{\omega\delta}{c}))\right\mathrm{d}\omega $

Soit : $ \varepsilon = 2\varepsilon_0+2\Re\left(\int_{-\infty}^\infty \varepsilon_\omega(\omega) e^{i \frac{\omega\delta}{c}}\mathrm{d}\omega \right) $

On reconnait la transformée de Fourier à droite, et j'aimerais savoir s'il existe une opération pour passer directement à ce genre d'écriture :

$ \varepsilon = 2 \varepsilon_0\left(1+C(\delta)\cos(\frac{\omega_0\delta}{c})\right) $ où C est le contraste qui est lié à la transformée du dessus.

Voilà, vive LaTeX

Edit : Corrigé la formule

[SL2(R)]

Il suffit d'écrire (il manque un $ \delta $ dans ton exponentielle) :

$ \int_{-\infty}^\infty \varepsilon_\omega(\omega) \ e^{i \frac{\omega \delta}{c}} \ \mathrm{d}\omega $

$ = \varepsilon_0 \ \int_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon_\omega(\omega)}{\varepsilon_0} \ e^{i \frac{\omega \delta}{c}} \ \mathrm{d}\omega $

$ = \varepsilon_0 \ \ e^{i \frac{\omega_0 \delta}{c}} \ \int_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon_\omega(\omega)}{\varepsilon_0} \ e^{i \frac{(\omega - \omega_0) \delta}{c}} \ \mathrm{d}\omega $

puis d'introduire le nombre complexe $ \gamma $ défini par l'intégrale qui reste :

$ \gamma \ = \ | \gamma | \ e^{i \alpha } \ = \ \int_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon_\omega(\omega)}{\varepsilon_0} \ e^{i \frac{(\omega - \omega_0) \delta}{c}} \ \mathrm{d}\omega $

Alors :

$ \Re \text{e} \left(\int_{-\infty}^\infty \varepsilon_\omega(\omega) \ e^{i \frac{\omega \delta}{c}} \ \mathrm{d}\omega \right) \ = \ \varepsilon_0 \ | \gamma | \ \cos \left( \frac{\omega_0\delta}{c} + \alpha \right) $

[Pfloutch]

Ah oui, j'avais pas pensé à sortir le $ \omega_0 $...

Merci bien