FeynmaN a écrit :Humm assez ardu comme exo.. Je vais bien le reprendre après les écrit !
En fait la seule chose qu'on sait c'est que f'-f² tend vers 0 (et que f est C¹ sur R). Donc je regarde ce qu'implique |f'-f²|<a
Je me demande ce qu'il se passe pour f suivant la valeur de f(x).
- Si $ f(x)\in ] \sqrt a, \infty[ $, $ f'(x)>0 $, donc $ f $ sera strictement croissante sur cette portion, et tendra vers l'infini car $ f' $ sera minorée par $ b>0 $. La justesse de l'énoncé implique que f tende alors vers l'infini en un réel $ x_0<\infty $, car si $ f $ rentre dans cette portion elle n'en ressort pas. C'est ce que j'ai cherché à démontrer.
- Si $ f(x) \in [ - \sqrt a, \sqrt a] $, alors on ne sait pas trop ce qu'il s'y passe à première vue', mais c'est un endroit qui nous arrange, car sa largeur tend vers $ 0 $ et contient $ 0 $.
- Si $ f(x) \in ]- \infty , - \sqrt a[ $, alors $ f'(x) >0 $, donc $ f $ va remonter. On peut remarquer qu'elle va atteindre la borne sup de tout intervalle inclus dans $ ]- \infty , - \sqrt a[ $ où la dérivée est minorée par $ b>0 $, donc tous les $ y<- \sqrt a $. Si on prend $ y = -2 \sqrt a $ par exemple, ça nous fait un truc qui tend vers $ 0 $ et au dessus duquel restera $ f $, donc OK.
Il faut justifier ces intuitions/idées. Le plus dur est le premier point.
On veut démontrer que si $ f(x_0)> \sqrt a $, alors $ f $ tend vers l'infini en un réel $ r $.
Je change cela en "Montrer que pour toute fonction $ f $ vérifiant $ f(x_0)>\sqrt(a) $ et $ f'>f^2-a $ , $ f $ tend vers l'infini en un réel $ r $.".
Intuitivement, le cas le pire , c'est à dire où la convergence vers l'infini sera la moins évidente et la plus lente, à $ f(x_0) $ constant, c'est si $ f'=f^2-a $. Je démontre que si une fonction g vérifie cette équation et si $ g(x_0)>\sqrt a $, alors elle tend effectivement vers $ +\infty $ en un réel.
Ensuite je cherche à démontrer que ce qui se passe pour cette fonction se passe aussi pour les autres fonctions qui vérifient $ f'>f^2-a $. Cela semble évident, car $ f' $ étant plus grand que $ g' $, $ f $ va ensuite être plus grand que $ g $ et rebelote pour $ f' $ et $ g' $ et ainsi de suite. Seulement, cette pseudo-récurrence n'est pas rigoureuse. Pour qu'elle le devienne, j'ai un outil dans ma manche : la "récurrence réelle pour des propriétés ouvertes".
On ne peut pas généralement faire de récurrence sur $ \mathbb{R}_+ $, car il n'est pas bien ordonné. La technique générale de récurrence se base sur l'existence d'un minimum dans l'ensemble des éléments ne vérifiant pas la propriété, ce qui est rarement vrai pour une propriété quelconque. Or si la propriété que l'on cherche à démontrer par récurrence est vraie sur un ouvert c'est le cas, car les fermés de $ \mathbb{R}_+ $ ont un minimum.
Donc je minore strictement $ f $ par une $ g $, et ça se passe bien.
Dans le cas réel je sais le faire, c'est dans mon TIPE.
