Exos sympas MP(*)

[LB]

Oula effectivement j'ai dit n'importe quoi ! A priori les valeurs propres de $ At $ sont $ \left{ 6t+2ik\pi, 7t+2il\pi, 10t+2im\pi\right} $ pour un certain triplet d'entiers.

Si la propriété est vraie pour tout t on peut effectivement dériver et évaluer en 0.

Sinon je suis pas sûr que l'énoncé ait un sens (qu'il y ait unicité de la réponse) : on peut justement, contrairement à ce que je laissais croire dans mon raisonnement faux ci-dessus, trouver des matrices de déterminant différents et qui ont la même exponentielle. En fait $ exp(A) = In $ ssi $ A $ est diagonalisable et ses valeurs propres multiples entiers de $ 2i\pi $ (ça se démontre en utilisant que A est diagonalisable ssi exp(A) l'est, lui même corollaire de la décomposition de Dunford)... donc, par exemple en rajoutant des éléments de $ 2i\pi\mathbb Z $ sur la diagonale de At, on ne change pas l'exponentielle... Donc a moins que A ait une propriété particulière qui ferait en sorte que les déterminants de toutes ces matrices soient égaux, je pense que c'est mort.

[Gudule]

Cette ligne là est fausse pour commencer ^^ Pour la corriger je te propose ce petit exercice : Trouver les matrices M dont l'exponentielle est l'identité. Sinon moi je trouve le même résultat (tu a oublié de diviser par t^3)

Mon résultat c'est le déterminant de At, donc a priori on a trouvé pareil

Et pour confirmer que j'ai compris mon erreur : le problème vient du "passage au logarithme" que je fais, qui ne me permet pas de trouver un résultat unique si A est complexe c'est ça ?

[Silvere Gangloff]

Ah oui j'ai mal lu . Oui en fait dans ce cas on sait que toutes les matrices$ At+2ik\pi I_3 $ vérifient la même identité, ceci découlant du théorème de Cauchy (Si $ A $ et $ B $ sont deux matrices qui commutent , $ exp(A+B)=exp(A)exp(B) $)

[FeynmaN]

Ah oui j'ai mal lu . Oui en fait dans ce cas on sait que toutes les matrices$ At+2ik\pi I_3 $ vérifient la même identité, ceci découlant du théorème de Cauchy (Si $ A $ et $ B $ sont deux matrices qui commutent , $ exp(A+B)=exp(A)exp(B) $)

Ca découle uniquement de : (Si $ A $ et $ B $ sont deux matrices qui commutent , $ exp(A+B)=exp(A)exp(B) $) pas besoin de Cauchy Lipshitz non ?

[LB]

C'est ce qu'il vient d'écrire

[FeynmaN]

J'en déduis qu'il faut que je fasse une sieste. Je ne savais pas qu'il portait ce nom, pour moi c'était une propriété de base.. Théorème de FeynmaN : Toute matrice est trigonalisable en bon.

[Silvere Gangloff]

Le théorème de Cauchy c'est celui qui dit que la somme d'un produit de Cauchy c'est le produit des sommes

[dSP]

Plus simple : on trouve $ A $ en dérivant $ t \mapsto e^{tA} $ en $ 0 $ et on calcule son déterminant directement

[LB]

Oh quel retour, bonjour dSP !
Oui ça avait déjà été proposé, mais comme l'énoncé ne précisait pas que l'identité était valable pour t au voisinage de zéro, on se demandait ce qu'on pouvait en dire si elle était valable pour seulement "un t", d'où le ramdam.

[Silvere Gangloff]

Soit A une application continue de $ \mathbb{R} $ dans l'ensemble des matrices carrées de taille $ n $, et une application $ V $ de $ \mathbb{R} $ dans le même ensemble vérifiant le problème de Cauchy : $ V'(t)=[A(t),V(t)] $ (Crochet de Lie) pour tout t réel et $ V(0)=V_0 $ donné.
Montrer que pour tout $ t $ réel, $ P_{V(t)}=P_{V_0} $ (Polynômes caractéristiques). Que dire de $ V(t) $ si $ V_0 $ est diagonalisable ?