Existence du projecteur

[FeynmaN]

Bonjour,

Dans un espace préhilbertien, si on prend un sous espace de dimension fini, comment justifier que le projecteur orthogonal sur cet sous espace existe ?

J'ai envie de dire, on prend une base de ce sous espace, on orthonormalise avec Gram Shmidt, et je donne une expression explicite d'un tel projecteur, mais ça m'a l'air recherché. Y aurait pas un argument plus simple ?

[LB]

Bah non c'est pas vraiment recherché, c'est élémentaire et constructif, que demander de plus ? Plus simplement tu peux juste dire que l'espace admet un supplémentaire orthogonal (son orthogonal !).

[FeynmaN]

Je ne sais pas.. Un projecteur agit entre deux sous espaces supplémentaires, si je dis que l'othogonal à mon sous espace est supplémentaire à cet sous espace, ça justifie aussi l'existence ou pas ?

[mookid]

Je ne sais pas.. Un projecteur agit entre deux sous espaces supplémentaires, si je dis que l'othogonal à mon sous espace est supplémentaire à cet sous espace, ça justifie aussi l'existence ou pas ?

Oui, mais comment prouves-tu que l'othogonal est bien supplémentaire, sinon par Gram Schmidt ? Si l'intersection est clairement {0}, le fait que la somme recouvre l'espace ne se montre pas autrement, enfin il me semble...

[FeynmaN]

Oui, mais ça reste du cours quand même mookid, on a pas besoin de le démontrer.

[mookid]

Oui, mais ça reste du cours quand même mookid, on a pas besoin de le démontrer.

Ben faut savoir, l'existence du projecteur orthogonal c'est du cours aussi

[FeynmaN]

mookid cette question figure dans un sujet de Centrale que je suis entrain de faire, c'est pour ça que je pose la question.

[mookid]

mookid cette question figure dans un sujet de Centrale que je suis entrain de faire, c'est pour ça que je pose la question.

Si c'est le cas, tu peux "gruger" et écrire par que l'othogonal est supplémentaire, ça va passer. Mais c'est incohérent mathématiquement (un peu comme inversion globale implique inversion locale).

[davfr]

mookid cette question figure dans un sujet de Centrale que je suis entrain de faire, c'est pour ça que je pose la question.

il n'est pas rare de voir des questions de cours(avec démo') dans un énoncé de concours

[Philippe PATTE]

Dans un espace préhilbertien, si on prend un sous espace de dimension fini, comment justifier que le projecteur orthogonal sur cet sous espace existe ?

En ouvrant ton cours à la bonne page. L'existence du projecteur orthogonal sur un sev équivaut au fait que le sev et son orthogonal sont supplémentaires.
Dans ton cours, tout tombe en même temps pour un sev de dimension finie.