Exos sympas MP(*)

[ØļivierŏđÐ]

J'arrive un peu après la bataille mais :

observer attentivement le vecteur $ C_k - C_{2^n} $, où $ C_k = [a_{1,k}, a_{2,k}, \dots, a_{2^n,k}]^T $

est-ce que tu voulais dire $ C_k - C_{2^n-1} $, où $ C_k = [a_{1,k}, a_{2,k}, \dots, a_{2^n-1,k}]^T $ ?

si oui, je dirais que les $ a_{2^p,k} - a_{2^p,2^n-1} = -a_{2^p,2^n-1-k} $ pour $ 1 \leq k \leq 2^n-2 $ et $ 0 \leq p \leq n $

mais ça ne me paraît pas pertinent...qu'est-ce qu'il fallait remarquer ?

[VictorVVV]

mais ça ne me paraît pas pertinent...qu'est-ce qu'il fallait remarquer ?

Regarde sur un exemple (n=3 ou 4).

[Madec]

Ou alors : III. Supposons que$ \lambda_1,..,\lambda_n $ complexes sont les racines d'un polynôme unitaire de $ \mathbb{Z}[X] $. Montrer que pour tout q entier naturel >0, $ \prod_{i \in <1,n>} (X- (\lambda_i)^q) $est dans $ \mathbb{Z}[X] $.

Tu pourrais me donner une indication pour cet exercice. J'ai l'impression que ça fait intervenir les matrices compagnons mais je n'aboutis pas.

Merci d'avance.

et pourquoi ne pas dire que les coefficients du polynôme considéré sont des polynomes symétriques en les lamda i , et il existe un résultat qui dit que tout polynome symétrique s'exprime en fonction des polynômes symétrique élémentaires . Et comme la fonction polynomiale associée est entière par hypothèse alors le résultat suit .

[ØļivierŏđÐ]

Regarde sur un exemple (n=3 ou 4).

Ah, oui . Merci

[VictorVVV]

et pourquoi ne pas dire que les coefficients du polynôme considéré sont des polynomes symétriques en les lamda i , et il existe un résultat qui dit que tout polynome symétrique s'exprime en fonction des polynômes symétrique élémentaires . Et comme la fonction polynomiale associée est entière par hypothèse alors le résultat suit .

Comment prouves-tu que cette fonction envoie des entiers sur des entiers ?

[Madec]

Pour répondre à Victorvvv Voici un Théorème :

soit A un anneau et P polynôme symétrique de A[ x1,...,Xn] de degré k ; il existe un unique polynôme Q de A[X1,...,Xn] tel que :
P(X1, ...Xn) = Q( Y1,...Yn) où les Yi sont les n polynômes symétriques élémentaires de A[ X1, ..., Xn].
Ce polynôme Q est de poids k et de degré égal au degré partiel de P par rapport à l'une (quelconque) des indéterminées X1, ...,Xn

Ce théorème se démontre apparemment par récurrence ( c'est un peu lourd je crois ...)

comme Q est à coefficient dans A ( ici Z) , alors les coefficients sont bien dans Z ( car les arguments yi sont dans Z par hypothèses, et les polynomes coefficients sont
dans Z[Y1 ,...,Yn] )

[VictorVVV]

soit A un anneau et P polynôme symétrique de A[ x1,...,Xn] de degré k ; il existe un unique polynôme Q de A[X1,...,Xn] tel que :
P(X1, ...Xn) = Q( Y1,...Yn) où les Yi sont les n polynômes symétriques élémentaires de A[ X1, ..., Xn].
Ce polynôme Q est de poids k et de degré égal au degré partiel de P par rapport à l'une (quelconque) des indéterminées X1, ...,Xn

Ce théorème se démontre apparemment par récurrence ( c'est un peu lourd je crois ...)

Merci, je vois un peu la démo. On enlève les termes en xi^k, puis ceux en xi^{k-1}xj, puis xi^{k-1}xj^2, puis xi^{k-2}xjxk etc...

[Cyril]

Un rigolo :
Soit f C-infini de R dans R, 2Pi périodique, de moyenne nulle. Montrer que f''+f s'annule 4 fois sur une période.

[Januspyrus]

Un exercice tiré des oraux ENS en MP ( trouvé dans une revue de la RMS ):

Soient G et H des groupes, G fini. Soit f un morphisme de G dans H.
Trouver une relation entre card( G ), card( Ker f ) et card ( Im f ).

Ca ressemble beaucoup au théorème du rang mais l'équivalent pour les groupes , seulement si c'est le cas je ne vois pas comment faire.

[certus]

G/Ker(f) est isomorphe à l'image Im(f) puis on prend les cardinaux