Exos sympas MP(*)

[V@J]

Sympathique exercice !

[compol]

Est-il possible que le produit de cinq nombres entiers (strictement positifs) consécutifs soit un carré parfait ? Si oui, donner au moins un exemple.

Montrer que parmi 101 nombres entiers distincts, il existe toujours 11 d'entre eux dont la somme est divisible par 11. Question subsidiaire: Remplacer 101 par le plus petit nombre tel que cela reste vrai.

[golfeur]

(n'importe quoi)

[compol]

Je ne comprends pas quel est le lien entre la somme des carrés et le produit des 5 nombres

[VictorVVV]

Est-il possible que le produit de cinq nombres entiers (strictement positifs) consécutifs soit un carré parfait ? Si oui, donner au moins un exemple.

SPOILER:

Supposons que cela soit possible et réalisé par $ a, a+1, a+2, a+3, a+4 $. $ a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)=m^2 $
Ces cinq nombres entiers sont de la forme $ 2^k3^ln^2 $, où $ n $ est premier avec $ 6 $. En effet, leurs diviseurs premiers autre que $ 2 $ et $ 3 $ ne divisant pas les autres de ces cinq nombres, la composante d'un de ces cinq nombres selon un de ces nombres premiers est la même que celle de$ m^2 $, qui est un carré. (La composante d'un nombre $ n $ selon un nombre premier $ p $ est le plus grand $ p^k $ qui divise $ n $.)
Ces cinq nombres entiers sont donc de la forme $ jn^2 $, où $ j=1,2,3 ou 6 $.
Deux de ces nombres entiers ont le même $ j $, par le principe des tiroirs. Réécrit, cela donne $ (a+b)=jx^2 $ et $ (a+c)=jy^2 $, où $ b $ et $ c $ sont distincts entre $ 0 $ et $ 4 $ et $ j=1, 2, ou 3 $. ($ 6 $ n'est pas possible) $ x $ et $ y $ ayant des carrés proches, on peut majorer leurs carrés par $ 4 $. On peut donc borner $ a $ par $ 3*4=12 $. Or, l'un des cinq nombres $ a, a+1, a+2, a+3, a+4 $ est divisible par $ 5 $, donc par $ 25 $.
C'était donc impossible.

[V@J]

Montrer que parmi 101 nombres entiers distincts, il existe toujours 11 d'entre eux dont la somme est divisible par 11. Question subsidiaire: Remplacer 101 par le plus petit nombre tel que cela reste vrai.

Question 1

SPOILER:

Seule la classe d'équivalence de nos entiers $ a_1, \dots, a_{101} $ dans $ \mathbb{Z}/11\mathbb{Z} $ est importante. S'il existe onze indices $ i_0 < i_1 < \dots i_{10} $ tels que $ a_{i_0} \equiv a_{i_1} \equiv \dots \equiv a_{i_{10}} [11] $, alors $ \sum_{k=0}^{10}a_{i_k} \equiv 0 [11] $.
Sinon, alors pour tout entier $ c \in \{0, 1, \dots, 10\} $, il existe un indice $ i_c $ tel que $ a_{i_c} \equiv c [11] $ (et les indices $ i_c $ sont bien sûr distincts deux à deux), donc $ \sum_{c=0}^{10}a_{i_c} \equiv \sum_{c=0}^{10}c \equiv 0 [11] $

Question 2

SPOILER:

Si on prend 20 nombres dont dix sont de la forme $ 11 a $ et dix sont de la forme $ 11 a + 1 $, alors la somme de onze d'entre eux contient $ k $ entiers de la première catégorie et $ 11-k $ de la deuxième, avec $ 1 \leq k \leq 10 $. Du coup, la somme de ces onze entiers sera de la forme $ 11 b + k\not\equiv 0 [11] $. Donc il nous faut prendre au moins 21 entiers.

Réciproquement, si on prends 21 entiers, remarquons que
- le problème est invariant si on additionne à nos 21 entiers le même entier c ;
- il est invariant si on multiplie nos 21 entiers par le même entier d non divisible par 11 ;
- seule les classes d'équivalence de nos 11 entiers dans $ \mathbb{Z}/11\mathbb{Z} $ sont importantes.
On peut donc supposer, si on a $ k_c $ entiers de la forme $ 11 a + c $, que $ k_0 \geq k_1 \geq k_c $ pour $ c \in \{2,3,\dots,10\} $.
Il nous suffit alors de chercher des entiers $ l_c \leq k_c $ tels que $ \sum_{c=0}^{10}l_c = 11 $ et $ \sum_{c=0}^{10}c l_c \equiv 0 [11] $ : si, pour tout choix de $ k_c $, il existe un tel choix de $ l_c $, alors 21 est suffisant.
En pratique, le programme ci-dessous nous permet de vérifier que c'est bien le cas.

Code : Tout sélectionner

public class Get11 {

	private static final int max = 11;
	private static final int sum = 21;
	private static final int[] tab = new int[max];
	private static final int[] tab2 = new int[max];

	private static boolean doFirst() {
		for (int i = 0; i < max; i++) {
			tab[0] = i;
			for (int j = 0; j <= i; j++) {
				tab[1] = j;
				if (doNext(2, sum - i - j)) {
					return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}

	private static boolean doNext(int index, int rem) {
		if (index == max) {
			return rem == 0 && !doNext2(0, max);
		} else {
			for (int i = 0; i <= Math.min(tab[1], rem); i++) {
				tab[index] = i;
				if (doNext(index + 1, rem - i)) {
					return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}

	private static boolean doNext2(int index, int rem) {
		if (index == max) {
			return rem == 0 && test2();
		} else {
			for (int i = 0; i <= Math.min(tab[index], rem); i++) {
				tab2[index] = i;
				if (doNext2(index + 1, rem - i)) {
					return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}

	private static boolean test2() {
		int s = 0;
		for (int i = 1; i < max; i++) {
			s += i * tab2[i];
		}
		return s % max == 0;
	}

	public static void main(String[] args) {
		if (doFirst()) {
			System.out.println(sum + " is not enough!");
		} else {
			System.out.println(sum + " is enough!");
		}
	}
}

[compol]

Bravo à vous 2 !
( V@J: Je n'avais jamais trouvé la réponse à la question 2 , mais ce que tu as fait me semble bon )

[golfeur]

Je ne comprends pas quel est le lien entre la somme des carrés et le produit des 5 nombres

bah, à cette heure là, on arrive à lire ce qu'on veut lire, et pas ce qu'il y a écrit

[V@J]

Sinon, une version plus générale de

Montrer que parmi 101 nombres entiers distincts, il existe toujours 11 d'entre eux dont la somme est divisible par 11. Question subsidiaire: Remplacer 101 par le plus petit nombre tel que cela reste vrai.

me semble être

Soit $ n $ un nombre entier. Montrer que parmi $ 2n-1 $ nombres entiers distincts, il existe toujours $ n $ d'entre eux dont la somme est divisible par $ n $.

[compol]

Sinon, une version plus générale de

Montrer que parmi 101 nombres entiers distincts, il existe toujours 11 d'entre eux dont la somme est divisible par 11. Question subsidiaire: Remplacer 101 par le plus petit nombre tel que cela reste vrai.

me semble être

Soit $ n $ un nombre entier. Montrer que parmi $ 2n-1 $ nombres entiers distincts, il existe toujours $ n $ d'entre eux dont la somme est divisible par $ n $.

Es-tu sûr que c'est vrai? Ca ne me semble pas évident ! (en même temps, vu l'heure ...)