Exos sympas MP(*)

[V@J]

Non. Mais expérimentalement, ça marche pour $ n \leq 12 $. Donc je pense que ça marche tout le temps. Il ne reste plus qu'à le prouver.

[JC_Math]

Soit $ n $ un nombre entier. Montrer que parmi $ 2n-1 $ nombres entiers distincts, il existe toujours $ n $ d'entre eux dont la somme est divisible par $ n $.

C'est vrai, et non trivial (en exo de prepa bonne chance !). On peut meme se passer du fait que les entiers sont distincts.
Il s'agit du théorème dit EGZ, pour Paul Erdős, Abraham Ginzburg, et Abraham Ziv, demontre en 1961.

[V@J]

J'arrive à montrer que l'hypothèse "entiers distincts" est inutile : peut-on considérer que j'ai résolu la moitié de l'exo ?

En tout cas, JC_Math, merci pour ta remarque ! Et voici une démo du théorème EGZ : http://www.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/egz1.pdf
(D'ailleurs c'est rigolo, quand j'ai imaginé la généralisation de l'exo je me suis dit qu'il suffisait sans doute de considérer le cas où n était premier et d'appliquer le lemme de Cauchy-Davenport astucieusement, mais de là à trouver la preuve effective du théorème...)

[compol]

Merci pour le lien. J'essaierai de comprendre.

[ØļivierŏđÐ]

Bonsoir.
Un exo très sympa que j'ai eu en colle.
Il s'agit d'une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss. Il n'était pas facile donc j'ai rajouté quelques indications en espérant que ça ne gâchera pas la recherche :

1) Si f est une fonction $ C^1 $ , $ 2 \pi $-périodique de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{C} $ , ne s'annulant pas :

on note $ I_f =\frac 1 {2i \pi} \int_0^{2\pi} \frac {f'(t)} {f(t)} dt $
montrer que $ I_f $ est un entier

si besoin une indication :

SPOILER:

étudier $ \varphi : x \mapsto exp(\int_0^{x} \frac {f'(t)} {f(t)} dt) $ application de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{C} $

2)
Pour P un polynôme et R >0 , on note $ f_{P,R} : t \mapsto P(Re^{it}) $ application de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{C} $

en raisonnant sur les $ I_{f_{P,R}} $ , R>0, démontrer le théorème.

3(question supplémentaire)
Pour P un polynôme montrer que $ I_{f_{P,R}} $ est le nombre de racines de P dans le disque de centre 0 et de rayon R

[V@J]

Ton colleur, c'était un élève ou un prof ? Parce qu là, il t'a juste demandé de redémontrer les trois premières applications du cours que j'ai eu en 1A à l'X sur les fonctions holomorphes...

[ØļivierŏđÐ]

C'est mon prof de maths. Il m'a effectivement dit que c'était en rapport avec les fonctions holomorphes et je crois qu'il me l'a donné pour la culture

[VictorVVV]

si besoin une indication :

SPOILER:

étudier $ \varphi : t \mapsto exp(\int_0^{2\pi} \frac {f'(t)} {f(t)} dt) $ application de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{C} $

Ton application est constante, car t est aussi la variable d'intégration.

[V@J]

Effectivement, pour la culture, c'est toujours un grand classique.

Ton application est constante, car t est aussi la variable d'intégration.

[ØļivierŏđÐ]

Exact, mes excuses. Correction :

SPOILER:

$ \varphi : x \mapsto exp(\int_0^{x} \frac {f'(t)} {f(t)} dt) $