Bonjour à tous,
J'ai une question concernant l'algèbre linéaire.
Je ne comprend pas l'implication suivante :
s² = id ==> s est un automorphisme.
En vous remerciant d'avance,
The taupin.
automorphisme
Re: automorphisme
Bah $ s^2 = Id \Leftrightarrow s\circ s = Id $, donc $ s $ est son propre inverse.
C'est donc que $ s $ est inversible, et je suppose que c'est un endomorphisme, alors c'est un bien un automorphisme.
C'est donc que $ s $ est inversible, et je suppose que c'est un endomorphisme, alors c'est un bien un automorphisme.
Re: automorphisme
D'accord, mais c'est surtout le passage de "s inversible ==> s bijective" qui m’embête.
J'en conviens que ma question peut paraître basique, voir même stupide, mais ça me turlupine ..
J'en conviens que ma question peut paraître basique, voir même stupide, mais ça me turlupine ..
Re: automorphisme
Moui, moi je voyais plutôt ça comme conséquence d'une propriété vue en analyse :
Soit f de E dans F et g de G dans G
1) si gof est injective alors f est injective
2)si gof est surjective alors g est surjective.
La preuve de cette propriété est très simple juste en traduisant avec des phrases logiques.
Application :
Soit s un endormorphisme tq s o s = Id.
L'identité est une injective. Et tu a s o s = Id donc s o s est injective d'où s est injective d'après 1).
L'identité est une surjective. Et tu a s o s = Id donc s o s est surjective d'où s est surjective d'après 2).
Donc s est bijective.
Donc s est un automorphisme.
Soit f de E dans F et g de G dans G
1) si gof est injective alors f est injective
2)si gof est surjective alors g est surjective.
La preuve de cette propriété est très simple juste en traduisant avec des phrases logiques.
Application :
Soit s un endormorphisme tq s o s = Id.
L'identité est une injective. Et tu a s o s = Id donc s o s est injective d'où s est injective d'après 1).
L'identité est une surjective. Et tu a s o s = Id donc s o s est surjective d'où s est surjective d'après 2).
Donc s est bijective.
Donc s est un automorphisme.
Re: automorphisme
Oui enfin, passer par là pour voir que c'est un automorphisme c'est montrer une incompréhension et une maladresse.
Et non ce n'est pas plus rigoureux que ce que j'ai proposé au deuxième message ou par rapport à ce que je propose juste ci-dessous :
On dispose d'un endomorphisme $ s $ de $ E $ qui vérifie $ s^2 = Id $.
Pour prouver que c'est un automorphisme, si on prouve que $ s $ est injective et surjective, ça prouvera que c'est une bijection.
Dans ce cas :
Soit $ x \in Ker s $, alors $ s(x) = 0 $ et donc $ x = s^2(x) = s(s(x)) = s(0) = 0 $, donc $ s $ est injective.
Montrons la surjectivité.
Soit $ y \in E $.
Posons $ x = s(y) $.
On voit alors que $ y = s^2(y) = s(s(y)) = s(x) $, ainsi il existe bien $ x \in E, s(x) = y $, c'est à dire que $ s $ est bien surjective.
Donc $ s $ est bien une bijection et comme c'est un endomorphisme, c'est bien un automorphisme.
Et non ce n'est pas plus rigoureux que ce que j'ai proposé au deuxième message ou par rapport à ce que je propose juste ci-dessous :
On dispose d'un endomorphisme $ s $ de $ E $ qui vérifie $ s^2 = Id $.
Pour prouver que c'est un automorphisme, si on prouve que $ s $ est injective et surjective, ça prouvera que c'est une bijection.
Dans ce cas :
Soit $ x \in Ker s $, alors $ s(x) = 0 $ et donc $ x = s^2(x) = s(s(x)) = s(0) = 0 $, donc $ s $ est injective.
Montrons la surjectivité.
Soit $ y \in E $.
Posons $ x = s(y) $.
On voit alors que $ y = s^2(y) = s(s(y)) = s(x) $, ainsi il existe bien $ x \in E, s(x) = y $, c'est à dire que $ s $ est bien surjective.
Donc $ s $ est bien une bijection et comme c'est un endomorphisme, c'est bien un automorphisme.
Re: automorphisme
Non non mais je ne disais pas que c'était plus rigoureux ou quoiAsymetric a écrit :Oui enfin, passer par là pour voir que c'est un automorphisme c'est montrer une incompréhension et une maladresse.
, c'est juste comme ça que je vois les choses...Mais je ne trouve pas ma """démo""" spécialement maladroite
. Pourquoi on ne pourrait pas appliquer des th d'analyse en algèbre sur les AL ?Re: automorphisme
Attention je n'ai pas dis qu'on ne pouvait pas appliquer des théorèmes d'analyse en algèbre.
Ce que je dis, c'est que pour le résultat ici qui justement n'est pas d'une grande difficulté, c'est un peu fort d'utiliser des résultats annexes.
Je pense qu'un correcteur qui voit ce que je vais écrire en dessous, ne va pas trop aimer :
Soit f de E dans F et g de G dans G
Lemme 1 : si gof est injective alors f est injective
Lemme 2 :si gof est surjective alors g est surjective.
Ainsi d'après lemme 1 et 2 on en déduit que s est une bijection.
Si on aime pas trop le fait que s est son propre inverse, alors autant passer par le noyau et la surjectivité.
Ce que je dis, c'est que pour le résultat ici qui justement n'est pas d'une grande difficulté, c'est un peu fort d'utiliser des résultats annexes.
Je pense qu'un correcteur qui voit ce que je vais écrire en dessous, ne va pas trop aimer :
Soit f de E dans F et g de G dans G
Lemme 1 : si gof est injective alors f est injective
Lemme 2 :si gof est surjective alors g est surjective.
Ainsi d'après lemme 1 et 2 on en déduit que s est une bijection.
Si on aime pas trop le fait que s est son propre inverse, alors autant passer par le noyau et la surjectivité.