Exos sympas MPSI

[VincentR]

C'est ton histoire d'auto-adjontqui m'avit fait réagir.
En effet la diagonalisation n'est pas au programme de MPSI (ce qui est insensé d'ailleurs), du coup mon exo n'aurait pas du être posté, dommage .

[charlestiran]

Je relance, un facile et un moins facile :

Soit $ E $ l'espace des fonctions continues sur $ [0,1] $ à valeurs dans $ \mathbb{R} $. Montrer que l'application $ N $ définie sur $ E $ par $ N(f)=\underset{[0,1]} {sup} |f| $ est une norme sur $ E $ et qu'elle n'est pas euclidienne (c'est à dire qu'elle n'est pas issue d'un produit scalaire).

Soit $ f $ une fonction continue par morceaux sur $ [a,b] $ à valeurs dans $ \mathbb{R} $. Montrer que la suite $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ définie par :
$ u_n=\int\limits_{a}^b f(x)sin(nx)\, \mathrm dx $ converge vers $ 0 $.

[Vlastilin]

Le lemme de riemann lebesgue dans ce cas, c'est du cours de spé

[Othyy]

Du cours ? A ma connaissance pas vraiment. Mais un grand classique oui

[Vlastilin]

Ah si ce résultat est au programme de MP

[Philippe PATTE]

Je relance, un facile et un moins facile :

Soit $ E $ l'espace des fonctions continues sur $ [0,1] $ à valeurs dans $ \mathbb{R} $. Montrer que l'application $ N $ définie sur $ E $ par $ N(f)=\underset{[0,1]} {sup} |f| $ est une norme sur $ E $ et qu'elle n'est pas euclidienne (c'est à dire qu'elle n'est pas issue d'un produit scalaire).

Soit $ f $ une fonction continue par morceaux sur $ [a,b] $ à valeurs dans $ \mathbb{R} $. Montrer que la suite $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ définie par :
$ u_n=\int\limits_{a}^b f(x)sin(nx)\, \mathrm dx $ converge vers $ 0 $.

Sauf que le premier, le facile, est parfaitement hors (de l'esprit du) programme et le second est vraiment très difficile (en sup). Avec une fonction C^1, ce serait assez facile. Ceux qui enlèvent le "assez" n'ont sûrement jamais croisé l'étudiant moyen de sup.

[charlestiran]

Pourtant le premier vient comme exemple après une propriété de mon cours. Le second je l'ai fait dans un livre qui lui met effectivement deux étoiles, et je ne l'ai pas trouvé tout seul. Par contre le deuxième, il est dans l'esprit du cours du chapitre dans lequel il se trouve, je trouve !

[Vlastilin]

Pour un MPSI oui. Mais ça ne présente que peu d'intérêt dans la mesure où c'est un résultat de deuxième année.
Après, c'est toujours bon de se rappeler de temps en temps l'uniforme continuité lorsque l'on vise une école très sélective.

[charlestiran]

Pourquoi parles-tu d'uniforme continuité ?

[Cyril]

Pour un MPSI oui. Mais ça ne présente que peu d'intérêt dans la mesure où c'est un résultat de deuxième année.
Après, c'est toujours bon de se rappeler de temps en temps l'uniforme continuité lorsque l'on vise une école très sélective.

La preuve que je connais montre le résultat par densité, même si un découpage d'uniforme continuité permet de montrer également le résultat.
Et pour M. Patte, au sujet du "assez", j'imagine que l'étudiant qui ne pense pas à la solution dans le cas C1 ne pourra pas faire grand chose sur ce forum e toute façon...