Exercices de MPSI

[truchement]

A mon avis c'est une erreur dans l'énoncé car il n'y a pas vraiment de rapport avec l'identité du spoiler

[brank]

au temps pour moi

[Tsukhie]

Effectivement, de plus je ne comprenais pas le lien entre $ 4m^4 $ et 16
Puisque $ 16 = 2^4 $ ou $ 4 * 4 $ (4 ne valant pas $ m^4 $ si m est entier).

[Lothbrok]

Autant pour moi, j'ai fait une petite erreur, c'est $ n^4 + 64 $. Dsl

Truchement, c'est parfait pour la factorisation, donc maintenant que tu as le bon énoncé, plus de problème pour répondre pour tout n

[Obi Wan Kenobi]

Du coup il n'y a plus de $ m $ ?

[bullquies]

Du coup il n'y a plus de $ m $ ?

m=2!

[Lothbrok]

Du coup il n'y a plus de $ m $ ?

Relis l'énoncé, en théorie l'indice ne doit être regardé qu'en dernier recours sinon c'est plus drôle
Solution :

SPOILER:

Dinc en effet il suffit juste de factoriser l'expression, et prendre m=2

[baywatch]

À noter le document proposé par LLG pour les futurs MPSI :
http://www.louislegrand.org/index.php/a ... -mpsi-pcsi
Il y a un document analogue pour les ECS.

[baywatch]

Question 5 : La formule du crible, vous connaissez ? Ou principe d'inclusion-exclusion, ou encore formule de Poincarré, ça a plein de noms différents ! Si $ A_1,\dots,A_n $ sont des ensembles, on a $ \left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{J\subset[\![1,n]\!], J\neq\emptyset}(-1)^{|J|-1}\left|\bigcap_{j\in J} A_j\right| $.
Prouvez-le.

Bon c'est pas forcément une question facile, on peut procéder par récurrence sur n, mais c'est pas ce qu'il y a de plus joli (mais c'est la méthode qu'on voit le plus souvent bizarrement, malgré son immondice).

Oui en effet, mais c'est malgré tout un bon exercice sur les sommes et les opérations ensemblistes (même si c'est peu esthétique !). On trouve ici la preuve par récurrence :
http://www.prepamaths.fr/formule-du-crible-de-poincare/
ou sur wikiversity :
http://fr.wikiversity.org/wiki/Formule_ ... _du_crible
D'autres sites donnent la preuve par indicatrice

[Nico_]

Ah ça c'est un truc que j'avais fait en TS (tout seul dans mon coin, c'était même peut-être pendant les vacances TS -> prépa). J'avais commencé par des petits n, je trouvais la réponse avec des dessins. Puis pour la généralisation, bah j'ai aussi fait des dessins et ça a marché (mais j'ai mis vraiment longtemps).
Edit : par contre je n'avais pas la réponse naturellement...

Si certains sont motivés je peux donner une suite à l'exo (pas forcément très compliquée d'ailleurs).