Exercices de MPSI

[Necklor]

Bien.

Je propose un exercice accessible en terminale.

Trouver l'ensemble des fonctions de $ \mathbb{C} $ dans $ \mathbb{C} $ tel que $ f(z) + i.f(\bar{z}) = 2i $.

SPOILER:

$ f(z) + i.f(\bar{z}) = 2i $ et $ f(\bar{z}) + i.f(z) = 2i $ et ensuite on résout l'équation à deux inconnues et on obtient $ f(z) = 1 + i $

[Satanikwolf]

Bien.

Je propose un exercice accessible en terminale.

Trouver l'ensemble des fonctions de $ \mathbb{C} $ dans $ \mathbb{C} $ tel que $ f(z) + i.f(\bar{z}) = 2i $.

SPOILER:

Rapidement :

On pose f(z)=j(z)+ik(z) avec j et k deux fonctions définies sur C à valeurs dans R. On a donc j(z)-k(zbarre)=0 et k(z)+j(zbarre)=2.
On résout et on trouve j(z)=k(z)=1. La réciproque est immédiate.

[brank]

ah c'est quoi une somme infinie ?

Dans le même genre que la question 1 de diophantienne,montrer que:
"La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues"

par exemple,il existe une suite arithmétique dont les 1000 premiers termes sont des nombres premiers,c'est dingue non?

SPOILER:

Green-Tao 2004

[kledou]

Intéressant, brank, je connaissais pas le théorème de Green-Tao. Merci

[compol]

ah c'est quoi une somme infinie ?

Dans le même genre que la question 1 de diophantienne,montrer que:
"La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues"

par exemple,il existe une suite arithmétique dont les 1000 premiers termes sont des nombres premiers,c'est dingue non?

SPOILER:

Green-Tao 2004

Trivial

[brank]

franchement je trouve ça dingue ce truc.

[bullquies]

eh mais du coup ça permet de montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers!

[amo83]

SPOILER:

rapidement la 1): Soit r la raison de la suite. Soit k^2 le carré parfait qu'admet la suite. En posant n=2k+r on a k^2+nr qui appartient à la suite. Or ce nombre est égal à (k+r)^2 et donc un carré parfait. On a donc bien une infinité (en recommençant à l'infini)

[truchement]

Soit P(x) un polynôme de Z[X]

Dans un topic "pré-MPSI" il serait apprécié de définir les notations hors-programme de lycée ...

[brank]

Des agrégatifs t'ont pris au sérieux bullquies !


Rapport du jury 2007 (agregation externe) : Cette leçon est classique et bien balisée, encore
faut-il l’organiser de façon cohérente. Il est absurde de vouloir déduire que
l’ensemble des nombres premiers est infini de la divergence de la série somme des 1/p.