Séries numériques !

[Snyler]

Salut,
Soit $ (u_n) $ une suite de nombres réels positifs, décroissante et de limite nulle.
Montrer que $ \sum u_n $ converge si et seulement si $ \sum n(u_n - u_{n+1}) $ converge.
Bon, déjà j'ai fais le sens direct, il me reste à montrer l'autre sens. J'ai du faire l'encadrement suivant :
$ 0\leq\sum_{k=1}^n\ u_k -nu_n\leq\sum_{k=0}^n\ k(u_k - u_{k+1})\leq\sum_{k=1}^n\ u_k $
Je pense que j'ai un encadrement ''large'' vu que pour montrer l'autre sens, il faut que je montrer que $ (nu_n) $ tend vers 0 : ce que je pense n'est pas toujours vrai.
Merci pour vos interventions, constructives comme toujours

[Madec]

cherche plutôt à exprimer ta somme en fonction de (n+1 - n) un ...

[Snyler]

Le problème reste le même, en effet j'ai calculé ma somme (simple changement d'indice) et sa donne :
$ \sum_{k=0}^n\ k(u_k - u_{k+1})=\sum_{k=1}^n\ u_k - nu_{n+1} $
Me semble-t-il que l'exo n'est pas vraiment simple..Bref je ne comprends pas.

[Madec]

je suis étonné , cette somme ne s'écrit-elle pas :

1 u1 -1 u2 + 2 u2 - 2 u3 + 3 u3-3 u4 + ...
soit u1 + ( 2-1) u2 + (3-2) u3 + (4-3) u4 + ....

[Snyler]

Non, plutôt comme ca :
1*u1 + (2-1)u2 + ... + (n-n+1)un - n.un+1 ( forcément le coeff de un+1 ne peut pas être 1 vu qu'on a ''1'' seul terme à un+1 dans la somme.. )

[gardener]

$ \sum_{n=0}^N n(u_n - u_{n+1}) = \sum_{n=0}^N nu_n - \sum_{n=1}^{N+1}(n-1)u_n $, donc $ \sum_{n=0}^N n(u_n - u_{n+1})= -N u_{N+1} + \sum_{n=1}^{N+1}u_N $

Avec cette écriture, on voit en effet que le sens direct est évident, et pour l'autre, on peut le relier à un exercice classique.

[Snyler]

$ \sum_{n=0}^N n(u_n - u_{n+1})= -N u_{N+1} + \sum_{n=1}^{N+1}u_N $

La somme dans le terme de droite va de 1 jusqu'à N et pas N+1. Oui, j'ai pensé à un exercice qui permet de démontrer que $ (nu_n) $ tends vers 0. $ (u_n) $ est décroissante, MAIS, il suppose comme autre hypothèse que $ \sum u_n $ converge, et c'est ce qu'on veut démontrer ..

[Snyler]

Merci, c'est vrai que j'ai pensé à tout, sauf à majorer avec le reste. En tout cas, bien joué pour la résolution

[Madec]

Non, plutôt comme ca :
1*u1 + (2-1)u2 + ... + (n-n+1)un - n.un+1 ( forcément le coeff de un+1 ne peut pas être 1 vu qu'on a ''1'' seul terme à un+1 dans la somme.. )

oups ! Oui je m'étais parfumé le dernier terme qui change "tout"
Désolé .

[Snyler]

Pas de soucis Madec.