Exos sympas MPSI

[RBourgeon]

@RBourgeon, les racines de $ A $ sont aussi leurs opposés. Donc $ A $ se factorise bien.
Après il faut voir ce que ça donne avec la multiplicité. Sinon tu peut dériver $ 2n+1 $ fois et évaluer en $ 0 $.

Nous sommes en train de dire la même chose : j'ai montré que $ A $ est soit un polynôme pair, soit un polynôme impair ; pour de tels polynômes, si un nombre est racine, alors son opposé l'est aussi...
Et on ne peut pas dériver successivement l'égalité qui caractérise $ A $, c'est dégueulasse à cause des carrés

[Nico_]

Rappelons quand même que ce topic est fait pour les MPSI. L'autre pour les MP. Si ce sont les X qui répondent, les sujets perdent leur intérêt...

[RBourgeon]

C'est vrai t'as raison Nico, en faisant ça on leur "pique" un peu leur prépa

[MSman]

Plus marrant alors :

Calcul de $ \int_0^{\pi/2}\frac{\sin 2013x }{\sin x} \ dx $

SPOILER:

C'est bien intégrable car en 0 $ \frac{sin(2013x)}{sin(x)}\sim 2013 $
$ \frac{sin(2013x)}{sin(x)}=\frac{e^{i2013x}-e^{-i2013x}}{e^{ix}-e^{-ix}}=e^{-i2012x}\frac{e^{i2013x*2}-1}{e^{2ix}-1} $ $ =e^{-i2012x}\sum_{k=0}^{2012}e^{2ikx}=\sum_{k=0}^{2012}{e^{i(2k-2012)x} $ $ =\sum_{k=-1006}^{1006}e^{2ikx}=1+2\sum_{k=1}^{1006}cos{2kx} $
Donc $ \int_0^{\pi/2}\frac{\sin 2013x }{\sin x} \ dx=\int_0^{\pi/2}(1+2\sum_{k=1}^{1006}cos{2kx})dx $ $ =\pi/2+2\sum_{k=1}^{1006}\int_0^{\pi/2}cos{2kx}dx $
Et $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos(2kx)=\frac{1}{2k}\left [ -sin(2kx) \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=0 $
Donc $ \int_0^{\pi/2}\frac{\sin 2013x }{\sin x} \ dx=\frac{\pi}{2} $

[MSman]

Alex : ouais j'ai édité.

[fakbill]

ça donne quoi avec des petits degrés (en essayant explicitement avec ax+b puis degré 2 puis...en espérant voir pourquoi ça marche ou pas)?

[RBourgeon]

résoudre A(X^2 -2)=A^2 -2 ou A est un polynome unitaire non constant

vous voulez la solution ?

Bah... Déjà, on peut remarquer que : Si $ P $ est solution, alors $ P^2-2 $ l'est aussi.

En effet soit $ P $ vérifiant $ P(X^2-2) = (P(X))^2-2 $
Alors posons $ Q(X)=(P(X))^2-2 = P(X^2-2) $
On a donc : $ Q(X^2-2) = (P(X^2-2))^2-2 = (P(X)^2-2)^2-2 = Q^2-2 $

Comme $ X $ est solution, en définissant la suite $ (P_n)_{n \geq 1} $ par $ P_1 = X $ et pour tout $ n \geq 1, P_{n+1} = P_n^2-2 $ on obtient une suite de polynômes solutions. Je ne sais pas comment montrer que ce sont les seuls.

Pour des petits degrés, on obtient donc $ X^2-2 $ et $ X^4-4X^2+2 $ comme solutions par exemple.

[JeanN]

Je suis d'accord avec le message précédent même si on peut supposer éventuellement que le message incriminé comporte un peu de second degré...

[RBourgeon]

Les mines c'est du cours, comme Centrale d'ailleurs

Donc ceux qui ratent ces concours n'apprennent pas leurs cours. Ou tout simplement, ils sont des idiots.
C'est vraiment gentil de ta part. Tu es à l'X mais respecte quand même les gens qui n'ont pas eu l'X ou l'ENS.
Dans certaines classe prépa où lobjectif c'est ccp. Va leur dire que centrale et mines c'est du cours.
Mais finalement, peut être qu'on a pas eu tous la même chance.

Je suis d'accord, désolé de ne pas te soutenir là-dessus Cryme mais c'est quand même condescendent ce que as dit, tu étais en prépa au Parc mais je peux te dire que la MP sans étoile de Chaptal n'avait pas la même ambition que la MP sans étoile du Parc, à Chaptal pour les non-étoilés CCP E3A et Petites Mines c'était la normalité. Alors il doit y avoir beaucoup de gens qui s'étranglent quand tu dis que "c'est du cours" ; c'est vrai que Centrale est + proche du cours que les Mines mais y a des questions qui demandent vraiment beaucoup de réflexion.

EDIT : oui effectivement JeanN doit avoir raison lorsqu'il suppose que Cryme était ironique.

[RBourgeon]

Revenons à l'exercice sur les polynômes : sachant que j'ai exhibé une suite de polynômes de degré pair (sauf le premier, qui est de degré 1) qui sont solutions du problème, j'ai très envie de montrer que pour chaque degré, il n'y a au plus qu'un seul polynôme unitaire qui convient. Si on arrive à montrer ça (en admettant que ce soit vrai), on aura réglé le cas des degrés pairs et la questions des degrés impairs restera encore ouverte...