Exos sympas MPSI

[Keru]

Suppose $ f(x) $, $ -\infty < x < +\infty $, is a real valued function such that both $ (f(x))^2 $ and $ (f(x))^3 $ are
$ C^{\infty} $. Must $ f $ be $ C^{\infty} $?

/quote]

Résultat difficile, solution proposé par Henri Joris : Une C∞-application non-immersive qui possède la propriété universelle des immersions. (me demande pas si j'ai compris..)
Preuve plus élémentaire ici :

SPOILER:

www.jstor.org/stable/30037607

Ah ouais, c'est vraiment du lourd apparemment

[Ali_J]

Bonjour,

soit $ z_{1},...,z_{n} $ des complexes non nuls tels que $ |z_{1}+...+z_{n}|=|z_{1}|+...+|z_{n}| $, montrez que alors tous les $ z_{i} $ ont même argument.

SPOILER:

En développant puis en simplifiant par les modules on trouve que pour tout i,j on a $ z_i\bar{z_j}+z_j\bar{z_i} = 2Re(z_i\bar{z_j}) = 0 $ Donc forcément tous les $ z_i $ ont le même argument à 2pi près

[Satanikwolf]

Ou plus simplement :

SPOILER:

Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire donc les $ z_{i} $ sont positivement liés.

[Ali_J]

Ou plus simplement :

SPOILER:

Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire donc les $ z_{i} $ sont positivement liés.

Je vois pas ce que tu veux dire ?
C'est ce qu'on cherche à démontrer.

[Satanikwolf]

Oui mais c'est un résultat de cours.

[Ali_J]

Oui mais c'est un résultat de cours.

Même s'ils étaient positivement liés , cela ne veut pas dire qu'ils ont même argument.

[M.Lahlou]

Bonjour,

soit $ z_{1},...,z_{n} $ des complexes non nuls tels que $ |z_{1}+...+z_{n}|=|z_{1}|+...+|z_{n}| $, montrez que alors tous les $ z_{i} $ ont même argument.

Une petite récurrence sur n aussi !

[JeanN]

Oui mais c'est un résultat de cours.

Résultat hors programme

[kledou]

Un p'tit exercice pour la route : Soit $ (x,y,z) \in (\mathbb{R}^+)^3 $ tel que $ x + y + z \leq \frac{\pi}{2} $. Montrez que $ sin(x)sin(y)sin(z) \leq \frac{1}{8} $

Edit : Petite erreur dans le domaine de définition de (x,y,z).

[Ali_J]

Pour x = y = -pi/2 , z = pi/2. Le résultat est mis en défaut.