Exercices de MPSI

[Keru]

Je crois que la convexité n'est pas au programme de TS.
Sinon, oui ce que tu as dit est juste

[Nico_]

On m'avait même dit que ce n'est plus au programme de prépa

[Meijnir]

Je crois que la convexité n'est pas au programme de TS.
Sinon, oui ce que tu as dit est juste

Et puis ça enlèverait tout l'intérêt de l'exercice

[Tornado]

On m'avait même dit que ce n'est plus au programme de prépa

Woaw je me sens malin du coup
Non je rigole, c'est étonnant ! Pourtant, à ce que j'ai lu c'est bien pratique non (sans tomber dans les trucs super hard) ?

Tornado

[symétrie]

C'est encore au programme de MP (page 11 du programme officiel).

[optimath]

Trois petits exos .
Ex1 : Complexes, le barycentre et les suites :

Soit $ n $ un entier naturel non nul, $ q $ un réel distinct de 0, de 1 et de −1. On considère, dans le plan complexe, $ n $ points $ A_{0},\cdots ,A_{n-1} $ d’affixes respectives $ z_{0},\cdots ,z_{n-1} $.
1) Démontrer que le système pondéré $ \left\{\left(A_k, q^k \right),\, 0 \leq k \leq n-1 \right\} $ admet un barycentre que l'on notera $ G_n $.
2) On donne $ z_0 = 1,\, z_1 = \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)+ i \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right),\ z_k = z_{1}^{k}\,\, \forall k \in \{1,\cdots,n-1\} $.
Que se passe-t-il, pour le barycentre, lorsque $ n $ devient infiniment grand ?

$ $

Ex2 : fonction polynomiale, TVI, racines, arithmétique, complexes

Soit l'équation $ (E):\,4x^3+x^2+x-3=0 $.
1) Montrer que $ (E) $ a une unique solution réelle $ \alpha $ et que $ \alpha \in ]0,1[ $. Donner un encadrement de $ \alpha $ à $ 10^{-2} $ près.
2) Montrer que si $ (E) $ A une solution rationnelle $ \frac{p}{q} $ avec $ p \wedge q = 1 $ alors $ p $ divise 3 et $ q $ divise 4. La solution $ \alpha $ est-elle rationnelle ?
3) Résoudre $ (E) $ dans $ \mathbb{C} $

Ex3 : Suites définies par une intégrale, probabilités

1) Calculer pour tout entier $ n > 0 $, $ I_n = \int _{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{1+x^n}\mathrm{d}x $
2) Soit $ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\} $. Soient $ \beta $ un nombre réel et $ p $ l'application de $ \Omega $ dans $ \mathbb{R} $ définie par : $ p(n) = n^2 \beta I_n \, $ , pour tout $ n \in \Omega $.
Déterminer $ \beta $ pour qu'il existe une probabilité $ \mathbb{P} $ telle que, pour tout $ n \in \Omega $, on ait $ \mathbb{P}(\{n\}) = p(n) $.

[mrbs56]

Pour le 1, qu'est ce qu'un point pondéré ? Une recherche google m'a permis de savoir qu'on s'en servait pour trouver des barycentres, ce qui en soit n'avance à rien ... Apparemment c'est au programme de 1ere d'apres l'ilemaths ?

Pour le 2,

SPOILER:

1) Résoudre (E) équivaut à trouver les racines du polynome P défini par le membre de gauche. En dérivant P selon x on trouve $ 12x^2+2x+1 > 0 $ car son dicriminant est négatif et le coefficient du terme en x² est positif donc P est strictement croissant sur IR. De plus la limite de P en moins l'infini étant moins l'infini, et plus l'infini en plus l'infini, comme tout polynome est continu et 0 apartient à l'ensemble d'arrivée de P, d'après le théorème de la bijection il existe une unique solution alpha à (E). f(0)=-3 et f(1)=3 donc alpha est strictement compris entre 0 et 1. (Pas de calculatrice à portee de main donc difficile de faire l'encadrement à 10^-2 ..)
2) En remplacant alpha par p/q on peut factoriser par p en passant le 3 à droite ce qui montre que p|3. Puis on peut déduire que $ 3q^2=\frac{4p^3}{q}+pq+p $ Et donc que q|4 d'après le théorème de Gauss (car q divise forcément $ 4p^3 $ étant donné que toutes les autres termes de cette égalité sont entiers, ce quotient l'est nécessairement aussi). Si p|3 et q|4 alors les solutions possibles sont 1/4 et 3/4 (car alpha appartient à ]0;1[). Or f(3/4)=0 donc alpha est rationnel.
3)(E) équivaut à $ (x-\frac{3}{4})(4x^2+4x+4)=0 $ donc $ S= \{ \frac{3}{4} ; \frac{-1+i \sqrt3}{2} ; \frac{-1-i \sqrt3}{2} \} $.

Pour le 3,

SPOILER:

1) Pour tout entier n strictement positif, $ I_n = \frac{1}{n}[ln(1+x^n)]_0^1=\frac{ln2}{n} $.
2)$ p(n)=n\beta *ln2 $ mais ..

Je ne comprends pas la notation "une probabilité P sur (oméga,P(oméga))"

[optimath]

Pour le 1, qu'est ce qu'un point pondéré ? Une recherche google m'a permis de savoir qu'on s'en servait pour trouver des barycentres, ce qui en soit n'avance à rien ... Apparemment c'est au programme de 1ere d'apres l'ilemaths ?

Effectivement, c'était au programme de 1ère (de mon temps). Par exemple, si ABC est un triangle, le barycentre du système pondéré {(A,1),(B,1),(C,1)} est le centre de gravité de ce triangle. C'est un cas particulier où les poids des 3 points sont égaux (ici à 1).

Pour le 2 : OK.

Pour le 3 : je vais éditer pour supprimer cette notation.

[Cyp]

Les barycentres ne sont plus au programme de première (ni de terminale) donc c'est normal que tu ne comprennes pas.

Pour l'exercice suivant :

SPOILER:

Pour une définition de "probabilité" : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de ... lit%C3%A9s
Il faut juste ici utiliser la propriété disant que $ \mathbb{P}({\Omega}) = 1 $, puis écrire $ \Omega $ comme une union disjointe d'événements et enfin utiliser l'axiome 3 du lien que je t'ai envoyé.

[optimath]

Les barycentres ne sont plus au programme de première (ni de terminale) donc c'est normal que tu ne comprennes pas.

Incroyable, ils ont supprimé les pauvres barycentres...ils finiront bien par faire des livres scolaires de 50 pages.

Pour ceux qui veulent savoir ce qu'est un barycentre (ça me choque d'écrire ça) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Barycentre ... 9mentaire)