Exercice 1 :
Thème : limite d'une somme de Riemann et lien avec l'intégrale (cette chose sera définie en MPSI mais ceux qui sont pressés peuvent "wikipédier" après avoir fait l'exercice).
Prérequis : Intégrale, suites, complexes
Exercice 2 :Soit $ f $ la fonction définie sur $ [0;1] $ par $ f(x) = \sin(\pi x) $.
Pour tout entier $ n \geq 2 $, on pose $ S_n = \displaystyle{\frac{1}{n} \sum _{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)} $
1) Interpréter graphiquement $ S_n $ en considérant les rectangles $ R_k $ de base $ \left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n} \right] $ et de hauteur $ f\left( \frac{k}{n} \right) $ où $ 0 \leq k \leq n-1 $. Faire la figure dans le cas $ n = 8 $.
2) En introduisant la somme des $ n $ premiers termes d'une suite géométrique complexe, montrer que la limite de $ S_n $ est $ \frac{2}{\pi} $.
3) Comparer cette limite à $ I = \int _{0}^{1} sin\left(\pi x \right)\mathrm{d}x $ et interpréter graphiquement.
Thème : point fixe d'une fonction
Prérequis : Etude de fonctions, comparaison des intégrales, suites
Soit $ f $ la fonction définie sur $ [0;+\infty[ $ par $ f(x)=1+\ln(1+x) $.
1) En étudiant la fonction numérique $ g $ définie sur $ [0;+\infty[ $ par $ g(x) = x - f(x) $, montrer que l'équation $ f(x)=x $ admet une solution unique $ \alpha $ qui appartient à $ [1;3] $.
2) On définit la suite numérique $ (u_n) $ par $ u_0 = 1 $ et pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n+1} = 1 + ln(1+u_n) $.
Démontrer que :
2.a) La suite $ (u_n) $ est bien définie et croissante.
2.b) Pour tout entier naturel $ n $, $ u_n \geq 1 $.
2.c) Pour tout $ x \in [1;+\infty[ $, $ 0 \leq f'(x) \leq \frac{1}{2} $
2.d) Pour tout entier naturel $ n $, $ \left |u_{n+1} - \alpha \right | \leq \frac{1}{2} \left | u_n - \alpha \right | $
2.e) La suite $ (u_n) $ converge vers $ \alpha $.
2.f) $ u_{11} $ est une valeur approchée de $ \alpha $ à $ 10^{-3} $ près.
3) Montrer que pour tout entier $ p \geq 1 $, l'équation $ 1 + \ln(p+x) = x $ admet une unique solution $ \alpha_p $. Montrer que la suite $ (\alpha_p)_{p \geq 1} $ est croissante et minorée par $ 1+\ln(p) $. Quelle est la limite de $ (\alpha_p)_{p \geq 1} $ ?
