Exercices de MPSI

[muscovado]

On a du $ 1/n * cos(\pi/2n)/sin(\pi/2n) $. $ cos(\pi/2n) $ tend vers $ 1 $ donc on s'intéresse à $ 1/n * 1/sin(\pi/2n) $. Tu multiplies et divises par $ 2/\pi $ et le tour est quasiment joué.

[jouvence]

Merci !

[symétrie]

Sinon, tu peux essayer de faire disparaître le $ 1 - \cos(\pi/n) $ en multipliant le numérateur et le dénominateur par une expression bien choisie.

[Cyp]

Voici deux exercices non triviaux qui traitent du théorème de Bolzano-Weierstrass. Il affirme que toute suite numérique bornée contient une suite extraite convergente.
Une suite extraite, ou sous-suite, d'une suite $ (u_n) $ est une suite de la forme $ (u_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} $ où $ ({n_k})_{k\in\mathbb{N}} $ est une suite strictement croissante d'entiers naturels : on constitue une nouvelle suite à partir de certains des termes de la suite initiale.

Exercice 1 : démonstration
1) Soit $ ([a_n , b_n])_{n\in\mathbb{N}} $ une suite décroissante (c'est-à-dire que $ [a_{n+1} , b_{n+1}]\subset[a_n , b_n] $) de segments non vides dont les longueurs tendent vers 0. Montrer que $ \exists\xi\in\mathbb{R}, \bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n , b_n] = \left\{ \xi \right\} $ (Théorème des segments emboîtés)
2) Soit $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée. Construire une suite $ [a_n , b_n]_{n\in\mathbb{N}} $ de segments de $ \mathbb{R} $ telle que chaque $ [a_n , b_n] $ contienne une infinité de $ (x_n) $ et telle que :
$ \forall n\in\mathbb{N}, $\left\{\begin{array}{l}[a_{n+1} , b_{n+1}]\subset[a_n , b_n]\\ b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n - b_n)\end{array}\right.$ $
3) En déduire que l'on peut extraire une suite convergente de $ (x_n) $, i.e. qu'il existe une suite d'entiers $ (n_k)_{k\in\mathbb{N}} $ telle que $ (u_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} $ converge. (Théorème de Bolzano-Weierstrass)

La question 1 fait appel à un type de suites hors programme, d'où l'indication ci-dessous :

SPOILER:

Soient deux suites $ a_n $ et $ b_n $. Elles sont dites adjacentes si elles vérifient
(i) $ (a_n) $ croît et $ (b_n) $ décroît.
(ii) La suite $ (a_n - b_n) $ tend vers 0.

Théorème : deux suites adjacentes ont la même limite.
En effet, si l'on étudie les variations de la suite $ (a_n - b_n) $, on s'aperçoit qu'elle est croissante. Comme elle converge vers 0, elle est négative. Donc :
$ \forall n \in \mathbb{N}, b_0 \ge b_n \ge a_n \ge a_0 $. La suite $ (a_n) $ (respectivement $ (b_n) $) est donc majorée et croissante (respectivement minorée et décroissante), donc convergente. On déduit immédiatement de (ii) l'égalité de la limite.

Exercice 2 : applications
1) Soit $ (z_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite de complexes bornée (c'est-à-dire que la partie réelle et la partie imaginaire de chaque $ z_n $ est bornée). Montrer qu'on peut extraire une suite convergente de $ (z_n)_{n\in\mathbb{N}} $. Une suite de complexe est dite convergente si ses parties réelle et imaginaire convergent.
2) Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle. On dit que $ u $ est une suite de Cauchy si :
$ \forall\epsilon > 0,\exists N\in\mathbb{N},\forall p\ge N, \forall q\ge N, |u_p - u_q|<\epsilon $

Montrer que [$ u $ est une suite de Cauchy] équivaut à [$ u $ converge]
Cette deuxième question nécessite une bonne compréhension de la quantification des limites.

[Cyp]

Oui c'est défini en question 3 .

Edit pour en-dessous : L'exercice s'adresse clairement à des étudiants qui maîtrisent déjà parfaitement le programme de terminale. Comme ils sont nombreux sur ce forum, je me suis permis de le mettre. L'indication que j'ai donnée permet de donner une démonstration rigoureuse de la question 1 par double inclusion. Je ne veux surtout pas faire paniquer d'étudiants !

[brank]

Aux TS qui verraient le post ci dessus,ça a l'air compliqué y'a des beaucoup de lettres, des quantificateurs et une intersection infinie pour le 1).

faites un dessin, les segments emboîtés ça se voit très bien sur un dessin,prenez un segment si vous le resserrez au point sa longueur devienne nulle à la fin il reste quoi ? bin un seul point.

La justification propre de ce truc là utilise des propriétés de R qui ne semblent pas bien raisonnable de demander à des TS

[Meijnir]

Voici deux exercices non triviaux qui traitent du théorème de Bolzano-Weierstrass. Il affirme que toute suite numérique bornée contient une suite extraite convergente.

Exercice 1 : démonstration
1) Soit $ [a_n , b_n]_{n\in\mathbb{N}} $ une suite de segments non vides dont les longueurs tendent vers 0. Montrer que $ \exists\xi\in\mathbb{R}, \bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n , b_n] = {\xi} $ (Théorème des segments emboîtés)
2) Soit $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée. Construire une suite $ [a_n , b_n]_{n\in\mathbb{N}} $ de segments de $ \mathbb{R} $ telle que chaque $ [a_n , b_n] $ contienne une infinité de $ (x_n) $ et telle que :
$ \forall n\in\mathbb{N}, $\left\{\begin{array}{l}[a_{n+1} , b_{n+1}]\subset[a_n , b_n]\\ b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n - b_n)\end{array}\right.$ $
3) En déduire que l'on peut extraire une suite convergente de $ (x_n) $, i.e. qu'il existe une suite d'entiers $ (n_k)_{k\in\mathbb{N}} $ (ici, la prendre strictement croissante) telle que $ (u_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} $ converge. (Théorème de Bolzano-Weierstrass)

La question 1 fait appel à un type de suites hors programme, d'où l'indication ci-dessous :

SPOILER:

Soient deux suites $ a_n $ et $ b_n $. Elles sont dites adjacentes si elles vérifient
(i) $ (a_n) $ croît et $ (b_n) $ décroît.
(ii) La suite $ (a_n - b_n) $ tend vers 0.

Démontrer puis utiliser le théorème suivant : deux suites adjacentes convergent, et ont la même limite.

Exercice 2 : applications
1) Soit $ (z_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite de complexes bornée (c'est-à-dire que la partie réelle et la partie imaginaire de chaque $ z_n $ est bornée). Montrer qu'on peut extraire une suite convergente de $ (z_n)_{n\in\mathbb{N}} $. Une suite de complexe est dite convergente si ses parties réelle et imaginaire convergent.
2) Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle. On dit que $ u $ est une suite de Cauchy si :
$ \forall\epsilon > 0,\exists N\in\mathbb{N},\forall p\ge N, \forall q\ge N, |u_p - u_q|<\epsilon $

Montrer que [$ u $ est une suite de Cauchy] équivaut à [$ u $ converge]
Cette deuxième question nécessite une bonne compréhension de la quantification des limites.

Un essai pour l'indication

SPOILER:

La suite $ (a_n-b_n) $ est croissante car$ (a_n) $ et $ (-b_n) $ est croissante donc comme comme$ (a_n-b_n) \to 0 $ en $ +\infty $ alors $ \forall n,a_n\leq b_n $
$ (a_n) $est donc majorée par$ b_0 $ et est croissante donc elle est convergente vers $ \ell $
$ (b_n) $est donc minorée par $ a_0 $ et est décroissante donc elle est convergente vers $ \ell' $
donc $ (a_n-b_n) \to \ell=\ell' $
alors $ \ell=\ell' $
(a_n) et (b_n) converge vers la même limite $ \ell $

Après mon problème est que les deux suites de la question 1 ne sont pas définis comme croissante ou décroissante

[Cyp]

Pour l'indication, j'ai finalement mis directement la démonstration du théorème : la tienne est juste (edit : à la remarque près qu'a fait KGD). Effectivement, j'ai oublié de préciser que la suite de segments était décroissante...

[KGD]

Attention dans ton paragraphe, le fait que la suite $ (a_n - b_n) $ soit croissante et converge vers 0 n'implique pas qu'on ait l'inégalité stricte $ a_n - b_n < 0 $ pour tout $n$ (la suite peut stationner)
Bonne remarque pour la fin, l'énoncé a omis de préciser qu'on suppose $ \forall n \in \mathbb N, [a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n] $ (d'où le nom du théorème), sinon la suite $ (\left[n, n+\frac{1}{n}\right])_{n \in \mathbb N} $ fournit un contre-exemple

[Meijnir]

Merci pour la remarque,je vais éditer