Calcul explicite de somme de série

[The TJFK]

Bonjour,

Est-il possible de calculer explicitement toute somme de série dont le terme général est sous la forme 1/((n+a)(n+b)) avec a>0 et b>0 ?

(Dans le cas général, il n'y a pas de télescopage possible a priori)

[Meijnir]

Wolfram trouve une formule assez moche:http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... %2Bb%29%29

[King]

a et b sont des entiers naturels je suppose ?

[rafan]

D'après Maple, le résultat vaut $ (\Psi(1+a)-\Psi(1+b))/(a-b) $, où $ \Psi $ est la fonction digamma

SPOILER:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_digamma

EDIT: c'est logique puisqu'on a vu en cours comment dériver ln(Gamma) sous la forme d'une série

[The TJFK]

King: Non justement (sinon un télescopage donne instantanément la solution)

[King]

rafan : C'est simple donc.

On a $ \psi(1+a)-\psi(1+b)=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a}{n(n+a)}-\frac{b}{n(n+b)}) $$ =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n+b)-b(n+a)}{n(n+a)(n+b)}=(a-b)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+a)(n+b)} $

EDIT : Grillé j'avais pas vu ton edit

[Jay Olsen]

Prenez un petit temps de recul pour vous demander si vous connaissez la fonction digamma (si elle peut s'exprimer en termes simples ou si on a pas fait une lapalissade)
(La réponse est oui c'est utile)