Prérentrée pour ex-taupins : théorie de la mesure

[rafan]

C'est ce qui m'a donné l'idée
Avec aussi l'exo suivant donné à l'X: étant donné un ensemble (A1,...,An) de parties de E, que dire du plus petit ensemble de parties de E stable par complémentaire et union

[Darmstadtium]

Montrer que toute tribu sur un ensemble E fini est de cardinal une puissance de 2.

Soit $ \mathrm{A} $ une tribu sur un tel ensemble.
On définit la multiplication par un scalaire de $ \mathbb{F}_2 $ ainsi:
pour tout $ X\in \mathrm{A} $, $ 0.X=\emptyset $ et $ 1.X=X $
On définit l'addition de $ \mathrm{A}^2 $ dans $ \mathrm{A} $:
pour tous $ (X,Y)\in \mathrm{A}^2 $: $ X+Y=X\Delta Y $ (différence symétrique).
On vérifie alors que, muni de ces lois, $ A $ est un $ \mathbb{F}_2 $-ev, de dimension finie (car $ A $ est fini).
En notant $ d $ sa dimension: $ |A|=2^d $.

Pardonnez mon ignorance mais je ne suis qu'un modeste PC, comment tu déduis la ligne en gras du reste ?

[brank]

Darmastadtium,

Pour E un $ K $-espace vectoriel de dimension n, Il y a un isomorphisme entre $ K^n $ et E donné par le choix d'une base de E. C'est en particulier une bijection ce qui donne l'égalité des cardinaux.

par contre sauf si je suis passé à coté d'un gros truc le "On vérifie alors que" m'a l'air long et chiant.

[MATHADOR]

Variante :

SPOILER:

$ \mathcal{A} $ est un sous-groupe de $ (\mathcal{P}(E),\Delta) $ avec $ Card(\mathcal{P}(E))=2^{Card(E)} $ donc d'après le théorème de Lagrange, $ \mathcal{A} $ est d'ordre une puissance de $ 2 $

[Darmstadtium]

Darmastadtium,

Pour E un $ K $-espace vectoriel de dimension n, Il y a un isomorphisme entre $ K^n $ et E donné par le choix d'une base de E. C'est en particulier une bijection ce qui donne l'égalité des cardinaux.

par contre sauf si je suis passé à coté d'un gros truc le "On vérifie alors que" m'a l'air long et chiant.

Ok pour l'isomorphisme, c'est le cardinal de l'EV qui me semblait nouveau par rapport à ce que j'avais l'habitude de voir, mais j'ai fait mes recherches

[Jay Olsen]

Soit $ (E,\mathcal{A}) $ un espace mesurable et $ (f_n) $ une suite de fonctions qui converge simplement vers une fonction $ f $ avec pour tout $ n $, $ f_n:E\longrightarrow \overline{R} $ est mesurable. Montrer que $ f $ est mesurable.

A vous !

Montrer ? Vraiment ?