MVC pour les équations différentielles d'ordre 2

[Tarnation]

Bonjour

J'ai une question sur la méthode de la variation de la constante pour les équations différentielles d'ordre 2.

Je ne comprends pas pourquoi on peut se permettre d'imposer des conditions au début de la démonstration (même si on le vérifie à la fin)

Voir le lien ci dessous :
http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES ... ff07.1.pdf

Je ne comprends pas la première phrase de la page 6 "Il est astucieux d'imposer..." Pourquoi peut on faire ça ?

Merci beaucoup

[fakbill]

le lien ne marche pas.

[JeanN]

Si on te propose de chercher une solution sous forme polynomiale, tu te demandes si tu as le droit ? Normalement, non... Et tu fais confiance à l'indication...
Là c'est pareil.

[Tarnation]

Effectivement. Voici ce que dit le lien à propos de la méthode de variation des constantes :

"5.2 La methode de variation des constantes
Supposons que l’ ́equation caract ́eristique admette deux racines distinctes r1 et r2. Comme dans la preuve de 4.2, on cherche les solutions de (∗) sous la forme f(x) = λ1(x)er1x + λ2(x)er2x. On d ́erive :
f′(x) = λ′1(x)er1x + λ′2(x)er2x + r1λ1(x)er1x + r2λ2(x)er2x 5
et il est astucieux d’imposer λ′1(x)er1x + λ′2(x)er2x = 0, histoire de simplifier l’expression. "

Le problème ici c'est qu'on n'a aucune indication. La question se réduit à résoudre une équa diff. Il faut juste connaître l'astuce?

[Tarnation]

Pardon l'expression copiée n'est pas très claire, la voici ré-écrite :
f(x) = λ1(x)exp(r1x) + λ2(x)exp(r2x)
f′(x) = λ′1(x)exp(r1x) + λ′2(x)exp(r2x) + r1λ1(x)exp(r1x) + r2λ2(x)exp(r2x)
λ′1(x)exp(r1x) + λ′2(x)exp(r2x) = 0

[Tarnation]

Mhm dans ce cas pourquoi a-t-on le droit d'imposer cette condition? Cela ne paraît pas évident qu'on puisse imposer :
pour tout x, λ′1(x)exp(r1x) + λ′2(x)exp(r2x) = 0

[Magnéthorax]

Bonjour,

ce n'est pas une question de droit.

En ce qui me concerne, la condition dont vous ne comprenez pas l'origine et qui vous paraît rajoutée arbitrairement découle directement du fait qu'à l'ordre deux, cette méthode invite à chercher une solution qui s'écrit

$ y : x\mapsto \lambda_1 (x) \mathrm{e}^{r_1 x}+ \lambda_2 (x) \mathrm{e}^{r_2 x} $

avec des $ \lambda_1, \lambda_2 $ deux fois dérivable et qui vérifie en plus

$ y':x\mapsto \lambda_1 (x) r_1 \mathrm{e}^{r_1 x}+ \lambda_2 (x) r_2 \mathrm{e}^{r_2 x} $.

Pourquoi chercher une solution particulière sous cette forme ? Parce que, comme à l'ordre 1, la théorie dit que ça existe toujours. Simplement, il y a deux fois plus de fonctions et deux fois plus de conditions.

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9tho ... constantes

[Ali_J]

En fait , votre équation différentielle d'ordre 2 peut se ramener à une équation différentielle d'ordre 1 à valeurs dans R^2.
Si vous appliquez la méthode de la variation de la constante "classique" d'ordre 1 pour la nouvelle équation obtenue , vous obtenez deux conditions et non pas une seule.

[JeanN]

Mhm dans ce cas pourquoi a-t-on le droit d'imposer cette condition? Cela ne paraît pas évident qu'on puisse imposer :
pour tout x, λ′1(x)exp(r1x) + λ′2(x)exp(r2x) = 0

Ca se démontre : l1' et l2' devront être solution d'un système linéaire à deux équations, deux inconnues et de déterminant principal non nul...

[Tarnation]

Merci beaucoup pour vos réponses!! C'est plus clair.