Exos sympas MP(*)

[Mikihisa]

Oui j'aime pas trop cette mode de mettre sa super prépa en signature :p

[symétrie]

Puisqu'on en parle, autant démontrer la loi de réciprocité quadratique. Voici une preuve (qu'on peut trouver dans le cours d'arithmétique de Jean-Pierre Serre, p. 18).
Soient $ p, q $ des nombres premiers impairs et $ a $ un entier.
On définit d'abord $ \left(\frac{a}{p}\right) $ par $ \left(\frac{a}{p}\right) = 0 $ si $ a = 0 $, $ \left(\frac{a}{p}\right) = 1 $ si $ a $ est un carré modulo $ p $ (i.e. il existe un entier $ x $ tel que $ x^2 \equiv a\;(\text{mod } p) $), et $ \left(\frac{a}{p}\right) = -1 $ sinon.

1) Montrer que $ \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2}\; (\text{mod } p) $.
2) Lemme de Gauss : soit $ S = \{1, 2, \ldots, \frac{p - 1}{2}\} $. Si $ s \in S $ et $ a $ est un entier tel que $ 1 \leq a \leq p - 1 $, on peut écrire $ as \equiv \varepsilon_s(a)\sigma_s(a) \;(\text{mod } p) $ avec $ \varepsilon_s(a) \in \{-1, 1\} $ et $ \sigma_s(a) \in S $. Montrer qu'alors : $ \left(\frac{a}{p}\right) = \prod_{s \in S} \varepsilon_s(a) $.

3) Montrer que pour tout entier impair $ m $, on a :
$ \frac{\sin mx}{\sin x} = (- 4)^{(m - 1)/2} \prod_{1 \leq j \leq (m - 1)/2} (\sin^2 x - \sin^2 \frac{2\pi j}{m}) $
4) En déduire la loi de réciprocité quadratique : $ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p - 1)(q - 1)/4} $.
5) En utilisant le lemme de Gauss, calculer $ \left(\frac{2}{p}\right) $.

[MATHADOR]

Voir Maths 1 ENS MP 2001 où deux preuves de la loi de réciprocité quadratique sont proposées.

[Vault]

Pour ceux que ça intéresse, on trouvera un référencement de pas mal de preuves là:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/fchrono.html

Les plus motivés pourront aller regarder la première preuve proposée par Gauss qui est une preuve par récurrence sur les nombres premiers(!) en séparant en 8 cas..

[bubulle]

Ah bon ? Bizarre, je l'ai vu pour la première fois il y'a quelques jours

Alors si $ \forall x \in E, u^2(x) \in \text{Vect}(x,u(x)) $, montrer que $ u $ admet un polynôme annulateur de degré 2.

J'ai une démo qui nécessite de traiter à la main les cas n=3 et n=4. Vous avez une solution plus simple ?

[symétrie]

cf. polynôme minimal ponctuel (par exemple Oraux X-ENS algèbre 2, 2.56) (pas forcément plus simple mais plus général).

[Mikihisa]

Pour le calcul de $ \displaystyle \left ( \frac{2}{p}\right ) $ on peut se passer du lemme de Gauss.

SPOILER:

Il suffit de prendre une racine, disons $ \alpha $ du polynome $ X^4+1 $ dans une extension de Fp (un corps de rupture du polynome par exemple) puis de considéré la quantité $ y=\alpha + \alpha^{-1} $. On a $ y^2 = 2 $ et $ \displaystyle (\frac{2}{p}) = 1 \iff y\in \mathbb{F}_p $. Par le petit théorème de Fermat cette dernière condition équivaut à $ y^{p-1} = 1 $. On sait que les extension de $ \mathbb{F}_p $ sont de caractéristique $ p $ (voir construction des corps finis) et donc que $ y^p = \alpha^p + \alpha^{-p} $, il reste plus qu'a étudier les différent cas possible (suivant que p est congru à 1/7 ou 3/5 mod 8 ).

[zwyx]

Alors, ceux qui viennent de passer les oraux, vous voulez pas partager un peu vos énoncés ?

[JeanN]

Il y a plein d'exercices sur http://beos.prepas.org/

[zwyx]

Je sais bien mais c'est moins drôle que d'en discuter ici