Exos sympas MP(*)

[Jean_Ornstein]

Ah ah, moi j'ai eu la formule des compléments d'Euler (à travers un énoncé bien long) à prouver et la matrice des coefficients binomiaux à inverser, je pense que le deuxième, tout le monde le connait^^.

[Mikihisa]

Moi j'ai eu l'exo suivant (je crois l'avoir déjà poster)

Soit G un groupe fini de cardinal 2n qui contient 2 sous-groupe A et B de cardinal n distincts.
Montrer que G contient un 3ème sous-groupe de cardinal n.

[Ali_J]

Un exercice que j'ai trouvé très intéressant , tombé il y a quelques années à une épreuve écrite des ENS.
Soit f une fonction de la variable réelle , à valeurs complexes , continue ,et telle que f est négligeable devant x -> 1/x² lorsque |x| -> +oo.
Montrer que: $ \sum_{0}^{+\infty} h f(nh) \underset{h -> 0+}{\rightarrow} \int_{0}^{+\infty}f(t)dt $

[Magnéthorax]

Bonjour,

Soit $ K $ un entier naturel. Démontrez :

$ \displaystyle\int_0^n \frac{\sin t}{t}\,dt=\frac{\pi}{2}-\sum_{k=0}^K (-1)^{k}((2k)!\frac{\cos n}{n^{2k+1}}+(2k+1)!\frac{\sin n}{n^{2k+2}}) $ $ +o(\frac{1}{n^{2K+2}}) $

Indication :

SPOILER:

on pourra remarquer que pour tout $ t>0 $, on a $ \frac{1}{t}=\int_0^{+\infty} \exp(-tx)\,dx $. Le théorème de Fubini pourra être admis si besoin car il n'est plus au programme.

[Siméon]

Moi j'ai eu l'exo suivant (je crois l'avoir déjà poster)

Soit G un groupe fini de cardinal 2n qui contient 2 sous-groupe A et B de cardinal n distincts.
Montrer que G contient un 3ème sous-groupe de cardinal n.

SPOILER:

L'action de $ G $ par translation à gauche sur l'ensemble des classes à gauche $ G/A $ induit un morphisme de groupes $ \phi_A : G \to \mathfrak S_2 $ tel que $ \mathrm{Ker} \, \phi_A = A $ (puisqu'elle est transitive).
On a de même un morphisme de groupes $ \phi_B : G \to \mathfrak S_2 $ tel que $ \mathrm{Ker} \, \phi_B = B $.
L'application $ \psi : G \to \mathfrak S_2 $ définie par $ \psi(g) = \phi_A(g) \phi_B(g) $ pour tout $ g \in G $ est un morphisme de groupes car le groupe $ \mathfrak S_2 $ est abélien.
On vérifie alors sans peine que le noyau de $ \psi $ est un sous-groupe de $ G $ de cardinal $ n $ distinct de $ A $ et $ B $.

Ceci suggère une solution plus élémentaire : vérifier directement que le sous-ensemble $ (A \cap B) \cup (\bar A \cap \bar B) $ de $ G $ est en fait un sous-groupe de cardinal $ n $.

[Siméon]

Un exercice que j'ai trouvé très intéressant , tombé il y a quelques années à une épreuve écrite des ENS.
Soit f une fonction de la variable réelle , à valeurs complexes , continue ,et telle que f est négligeable devant x -> 1/x² lorsque |x| -> +oo.
Montrer que: $ \sum_{0}^{+\infty} h f(nh) \underset{h -> 0+}{\rightarrow} \int_{0}^{+\infty}f(t)dt $

SPOILER:

En tronquant la sommation à $ n \leq A/h $ et en tronquant l'intégrale à $ t \leq A $ pour une constante $ A $ arbitrairement grande, on se ramène essentiellement aux "sommes de Riemann" d'une fonction continue sur un segment. On vérifie par ailleurs que l'erreur causée par les troncatures est négligeable devant $ 1/A $ lorsque $ A \to +\infty $, ce qui permet de conclure.

[Ali_J]

Un exercice que j'ai trouvé très intéressant , tombé il y a quelques années à une épreuve écrite des ENS.
Soit f une fonction de la variable réelle , à valeurs complexes , continue ,et telle que f est négligeable devant x -> 1/x² lorsque |x| -> +oo.
Montrer que: $ \sum_{0}^{+\infty} h f(nh) \underset{h -> 0+}{\rightarrow} \int_{0}^{+\infty}f(t)dt $

SPOILER:

En tronquant la sommation à $ n \leq A/h $ et en tronquant l'intégrale à $ t \leq A $ pour une constante $ A $ arbitrairement grande, on se ramène essentiellement aux "sommes de Riemann" d'une fonction continue sur un segment. On vérifie par ailleurs que l'erreur causée par les troncatures est négligeable devant $ 1/A $ lorsque $ A \to +\infty $, ce qui permet de conclure.

Peux tu donner plus de détails ?

[Oka]

Un exercice que j'ai trouvé très intéressant , tombé il y a quelques années à une épreuve écrite des ENS.
Soit f une fonction de la variable réelle , à valeurs complexes , continue ,et telle que f est négligeable devant x -> 1/x² lorsque |x| -> +oo.
Montrer que: $ \sum_{0}^{+\infty} h f(nh) \underset{h -> 0+}{\rightarrow} \int_{0}^{+\infty}f(t)dt $

c'est valable pour f continue et integrable en +oo non ?

[Ali_J]

c'est valable pour f continue et integrable en +oo non ?

Dans ce cas , en ôtant l'hypothèse de négligeabilité devant x-> 1/x² je ne vois pas comment justifier la convergence de la série de terme général h f(nh) pour tout h > 0

[Siméon]

Peux tu donner plus de détails ?

Puisque $ f(x) $ est bornée par $ 1/x^2 $ lorsque $ x \to +\infty $, la fonction continue $ f $ est intégrable sur $ [0,+\infty[ $ et de plus $ \int_A^\infty f(x) dx = O\left(\int_A^\infty \frac{1}{x^2} dx\right) = O\left(\frac 1 A\right) $ lorsque $ A \to +\infty $. De même, la série de terme général $ f(nh) $ est absolument convergente pour tout $ h > 0 $ et $ \sum_{n > A/h} h\, f(nh) = O\left(\sum_{n > A/h} h/(nh)^2\right) = O\left(\frac 1 A\right) $ uniformément en $ h $ lorsque $ A \to +\infty $.

Ainsi, pour tout $ \epsilon > 0 $, on peut trouver $ A > 0 $ tel que $ \left|\int_A^\infty f(x) dx\right| < \epsilon $ et $ \left|\sum_{n > A/h} h\, f(nh)\right| < \epsilon $ pour tout $ h > 0 $. En utilisant l'uniforme continuité de $ f $ sur le segment $ [0,A] $, on montre par ailleurs l'existence d'un $ \alpha > 0 $ tel que pour tout $ h \in [0,\alpha] $, $ \left| \sum_{0 \leq n \leq A/h} h\, f(nh) - \int_0^A f(x)dx\right| \leq \epsilon $. Il reste à invoquer l'inégalité triangulaire et la définition de la limite pour conclure.