Exos sympas MP(*)

[Siméon]

c'est valable pour f continue et integrable en +oo non ?

Non. Pour un contre-exemple, il suffit de considérer une fonction continue intégrable $ f $ telle que $ f(n) = 1 $ pour tout entier $ n $. La série $ \sum_{n\geq 0} h\, f(nh) $ est alors grossièrement divergente pour toute valeur rationnelle de $ h $.

Ceci dit, on peut tout de même affaiblir nettement l'hypothèse, par exemple en demandant seulement que $ f $ soit dominée par un fonction intégrable décroissante.

[Oka]

merci pour ta réponse !

[Siméon]

Bonjour,

Soit $ K $ un entier naturel. Démontrez :

$ \displaystyle\int_0^n \frac{\sin t}{t}\,dt=\frac{\pi}{2}-\sum_{k=0}^K (-1)^{k}((2k)!\frac{\cos n}{n^{2k+1}}+(2k+1)!\frac{\sin n}{n^{2k+2}}) $ $ +o(\frac{1}{n^{2K+2}}) $

Indication :

SPOILER:

on pourra remarquer que pour tout $ t>0 $, on a $ \frac{1}{t}=\int_0^{+\infty} \exp(-tx)\,dx $. Le théorème de Fubini pourra être admis si besoin car il n'est plus au programme.

Ça me semble un peu trop lourd pour une planche d'oral, mais on peut faire quelque chose comme ça :

SPOILER:

Commençons par remarquer que $ \int_0^n \int_0^\infty \left|\sin(t) e^{-xt}\right|dxdt = \int_0^n \frac{|\sin(t)|}{t} dt < \infty $. On va donc pouvoir appliquer le théorème de Fubini pour intervertir les intégrales.

On a par ailleurs $ \int_0^n \sin(t) e^{-tx}dt = \Im \int_0^n e^{(i-x)t}dt = \frac{1}{1+x^2} + \Im R_n(x) $ avec $ R_n(x) = \frac{e^{(i-x)n}}{i-x} $. Puisque $ \int_0^\infty \frac{1}{1+x^2} = \lim_{x\to+\infty} \arctan(x) = \frac \pi 2 $ et $ R_n(x) $ est borné par $ e^{-nx} $ qui est intégrable sur $ [0,+\infty[ $, l'interversion des intégrale fournit $ \int_0^n \frac{\sin t}{t}dt = \frac \pi 2 + \Im \int_0^\infty R_n(x)dx $.

Il reste donc à donner un développement asymptotique du second terme lorsque $ n \to \infty $. On va utiliser pour cela le développement $ R_n(x) = \frac{e^{in}}{i} \sum_{k=0}^K \frac{x^k}{i^k}e^{-nx} + o(x^{K}) e^{-nx} $ valable au voisinage de 0. Pour tout $ \epsilon > 0 $ on peut donc trouver $ a > 0 $ tel que $ \left|\int_0^a R_n(x) dx - \frac{e^{in}}{i}\sum_{k=0}^K \int_0^a \frac{x^k}{i^k}e^{-nx}dx\right| \leq \epsilon \int_0^a x^K e^{-nx} dx $
En remarquant que la contribution des intégrales sur l'intervalle $ [a,+\infty[ $ est au plus de l'ordre de $ e^{-an} $ lorsque $ n \to +\infty $, on en déduit que :
$ \left|\int_0^\infty R_n(x) dx - \frac{e^{in}}{i}\sum_{k=0}^K \int_0^\infty \frac{x^k}{i^k}e^{-nx}dx + O(e^{-an})\right| $ $ \leq \epsilon \int_0^\infty x^K e^{-nx} dx $.

Les intégrales s'évaluent par intégrations par parties répétées (ou en reconnaissant la fonction Gamma) et on obtient $ \int_0^\infty R_n(x) dx = \frac{e^{in}}{i}\sum_{k=0}^K \frac{k!}{i^k}\frac{1}{n^{k+1}} + o\left(\frac{1}{n^{K+1}}) $.

Le résultat de Magnéthorax s'en déduit en allant jusqu'à $ 2K+1 $ au lieu de $ K $ et évaluant la partie imaginaire de $ e^{in}/i^{k+1} $ selon la parité de $ k $.

[Siméon]

Un résultat qui a une jolie démonstration probabiliste :

Exercice. Soit $ f : \mathbb R_+ \to \mathbb R $ une fonction continue et bornée. Pour tout $ h > 0 $, on définit une suite de fonctions $ (\Delta_h^k f)_{k \in \mathbb N} $ en posant $ \Delta_h^0 f = f $ et $ \Delta_h^{k+1}f(x) = \frac{\Delta_h^k f(x+h)- \Delta_h^k f(x)}{h} $ pour $ k \in \mathbb N $.
Pour tout $ x \in \mathbb R_+ $, établir la convergence de $ \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!} \Delta_h^k f(0) $ lorsque $ h \to 0^+ $ et identifier la limite.

[Ali_J]

Peux tu donner plus de détails ?

Puisque $ f(x) $ est bornée par $ 1/x^2 $ lorsque $ x \to +\infty $, la fonction continue $ f $ est intégrable sur $ [0,+\infty[ $ et de plus $ \int_A^\infty f(x) dx = O\left(\int_A^\infty \frac{1}{x^2} dx\right) = O\left(\frac 1 A\right) $ lorsque $ A \to +\infty $. De même, la série de terme général $ f(nh) $ est absolument convergente pour tout $ h > 0 $ et $ \sum_{n > A/h} h\, f(nh) = O\left(\sum_{n > A/h} h/(nh)^2\right) = O\left(\frac 1 A\right) $ uniformément en $ h $ lorsque $ A \to +\infty $.

Ainsi, pour tout $ \epsilon > 0 $, on peut trouver $ A > 0 $ tel que $ \left|\int_A^\infty f(x) dx\right| < \epsilon $ et $ \left|\sum_{n > A/h} h\, f(nh)\right| < \epsilon $ pour tout $ h > 0 $. En utilisant l'uniforme continuité de $ f $ sur le segment $ [0,A] $, on montre par ailleurs l'existence d'un $ \alpha > 0 $ tel que pour tout $ h \in [0,\alpha] $, $ \left| \sum_{0 \leq n \leq A/h} h\, f(nh) - \int_0^A f(x)dx\right| \leq \epsilon $. Il reste à invoquer l'inégalité triangulaire et la définition de la limite pour conclure.

D'où vient la domination de la somme par 1/A ?

[Siméon]

D'où vient la domination de la somme par 1/A ?

Le reste des séries de Riemann se majore facilement en comparant à une intégrale :

SPOILER:

Pour tout $ x > 0 $, on a $ \sum_{n \geq x} \frac{1}{n^2} = \sum_{n\geq x} \int_n^{n+1} \frac{dt}{n^2} \leq \sum_{n\geq x} \int_n^{n+1} \frac{dt}{t^2} \leq \int_x^\infty \frac{dt}{t^2}dt = \frac{1}{x} $.

En particulier $ \sum_{n \geq A/h} h / (hn)^2 = \frac{1}{h} \sum_{n \geq A/h} \frac 1 {n^2} \leq \frac{1}{h}\frac{h}{A} = \frac 1 A $.

[EPH]

Soit w_n une suite à termes dans IR*+ et u_n la suite définie par récurrence par u_0=1 et u_(n+1)=(u_0 u_1 ... u_n) + w_n.

• Si w_n est une constante strictement positive, quelle est la forme d'un équivalent simple de u_n ?
• Exhiber une classe de suites w_n à termes dans IR*+, la plus "grande" que vous pourrez telle que u_n ait encore un équivalent simple de la même forme.

Si w_n est constante strictement positive on a facilement l'expression de u_n... Pour la classe de suites w_n assez "grande" je suis sur l'idée du k^n(pour que w_(n) soit o(k^n) ) avec une valeur limite de k( je suis en train de voir où se stopper).

SPOILER:

Si w_n est constante égale à a par exemple ,on a (*) u_(n+1)=u_(n)**2-au_(n)+a et puis faire le changement de variables v_(n)=u_(n)-b où b est l'une des solutions constantes de (*)

[ecureuiljaponais]

Nouvel exercice :

Soit f dérivable sur un voisinage de a. Avons nous $ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\underset{a}{\sim }f'(x) $ ?

[zboum]

Bah ça n'a pas vraiment de sens si f est constante dans un voisinage de a

[ticotanar]

Bah ça n'a pas vraiment de sens si f est constante dans un voisinage de a

D'habitude on écrit jamais ~0 mais dans ce cas exceptionnel je pense que ça reste correct d'introduire la convention 0~0, c'est sans intérêt, mais bon ...

Sinon pour répondre à l'exo

SPOILER:

j'ai un contre-exemple prenons f(x)=x² et a=0 on obtient x~2x (en 0) ce qui est faux.