Exercices de MPSI

[L'hommeMasque]

Son fils se trouve dans son uterus ? Un BCPST connait la taille d'une cellule oeuf ?

Edit : En fait il a déjà surement dû s'expatrier (comme dirait MarieA) dans le bide de maman.

Absolument

[MarvinLeRouge]

l'attentive Monsieur Smith

Doit-on prendre en compte l'ambiguïté de l'identité sexuelle de ce monsieur ?

[BijouRe]

l'attentive Monsieur Smith

Doit-on prendre en compte l'ambiguïté de l'identité sexuelle de ce monsieur ?

Elle peut connaitre que 1 personne dans un couple ?

[Siméon]

Un exercice pour les lycéens.

Exercice. On appelle période d'une suite $ (x_n)_{n \in \mathbb N} $ un entier $ p \in \mathbb N $ satisfaisant $ x_{n+p} = x_n $ pour tout $ n \in \mathbb N $.
Montrer que pour toute suite il existe un entier $ p \in \mathbb N $ tel que les périodes de la suite sont exactement les multiples de $ p $.

[bullquies]

Un exercice pour les lycéens.

Exercice. On appelle période d'une suite $ (x_n)_{n \in \mathbb N} $ un entier $ p \in \mathbb N $ satisfaisant $ x_{n+p} = x_n $ pour tout $ n \in \mathbb N $.
Montrer que pour toute suite il existe un entier $ p \geq 1 $ tel que les périodes de la suite sont exactement les multiples de $ p $.

sympa et utile pour plus tard en mpsi !

[LudoJuan]

Dans le même esprit :
$ \sum_{k=0}^{n}x^k $ et $ \sum_{k=0}^{n}kx^k $

SPOILER:

$ \sum_{k=0}^n x^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} $
$ \sum_{k=0}^n k\cdot x^k = \sum_{k=0}^n \sum_{i=k}^n x^i = \sum_{k=0}^n \frac{x^{n+1}-x^k}{x-1} $ $ \: = \frac{nx^{n+1}}{x-1} - \frac{1}{x-1} \sum_{k=0}^n x^k = \frac{nx^{n+1}}{x-1} - \frac{x^{n+1} - 1}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+2} - (n+1)x^{n+1} - 1}{(x-1)^2} $

Il te manque substituer le 1 par x, et la formule sera correcte. C'est plus direct en factorisant la somme par x puis en remarquant qu'il s'agit d'une dérivée polynomiale.

[Kuroshitsu]

Il date pas un peu ce message de KGD ^^' ? Je suis même pas sûr qu'il suive encore ce topic...

[LudoJuan]

C'est probable que non. Je ne pige toujours pas pourquoi les gens répondent sans regarder la date du message auquel ils répondent.

Dans mon cas c'est plutot histoire d'éviter que ceux qui voient le post fassent la même erreur. Je m'adresse à celui qui l'a écrit parce que je le vois plus logique que de parler en troisième personne... Sans doute, il connait l'autre méthode (il suffit de voir où il étudie pour savoir qu'il est sans doute plus doué que moi) mais ceux qui liront son post ne la connaissent peut-être pas.

[Tornado]

Un exercice pour les lycéens.

Exercice. On appelle période d'une suite $ (x_n)_{n \in \mathbb N} $ un entier $ p \in \mathbb N $ satisfaisant $ x_{n+p} = x_n $ pour tout $ n \in \mathbb N $.
Montrer que pour toute suite il existe un entier $ p \geq 1 $ tel que les périodes de la suite sont exactement les multiples de $ p $.

J'ai pas très bien compris l'exercice je crois ... Une suite n'a pas forcément de périodes non ?

[Siméon]

@Tornado : Il y avait effectivement une coquille dans l'énoncé : il se peut que $ p = 0 $. Je redonne l'énoncé corrigé :

Exercice. On appelle période d'une suite $ (x_n)_{n \in \mathbb N} $ un entier $ p \in \mathbb N $ satisfaisant $ x_{n+p} = x_n $ pour tout $ n \in \mathbb N $.
Montrer que pour toute suite il existe un entier $ p \in \mathbb N $ tel que les périodes de la suite sont exactement les multiples de $ p $.

J'en profite pour ajouter des indications progressives :

SPOILER:

Que dire de la somme de deux périodes ?

SPOILER:

Si $ p_1 $ et $ p_2 $ sont des périodes avec $ p_1 \geq p_2 $, que dire de $ p_1 - p_2 $ ?

SPOILER:

Prendre pour $ p $ la plus petite période non nulle (si elle existe).