Exercices de MPSI

[bullquies]

Ce n'est pas forcément une coquille : quand tu écris "toutes les périodes de la suite", elles n'existent pas forcément. Dans ce cas n'importe quel p convient.

[lsjduejd]

Le problème venait du "sont exactement les multiples" qui avait sens d'équivalence ici.

[bullquies]

Ah bien vu, j'avais pas fait attention.

[MihoAzuki]

Bonjour, j'ai une question et je pense que ce fil est approprié pour ça..
Si on me dit qu'une fonction f(x) est une application continue de [0;1] dans [0;1], est-ce que ça implique qu'il existe a et b tels que f(a) = 0 et f(b) = 1?
(Par exemple, est-ce qu'on peut dire que x/2 correspond? )

[JeanN]

Non
(Oui)

[MihoAzuki]

Non
(Oui)

Merci!

[Lothbrok]

Bonjour, j'ai une question et je pense que ce fil est approprié pour ça..
Si on me dit qu'une fonction f(x) est une application continue de [0;1] dans [0;1], est-ce que ça implique qu'il existe a et b tels que f(a) = 0 et f(b) = 1?
(Par exemple, est-ce qu'on peut dire que x/2 correspond? )

Si une application va de E dans F, ça veut simplement dire que l'ensemble des valeurs prises par f(x) quand x décrit E est inclus dans F.

[Tornado]

@Tornado : Il y avait effectivement une coquille dans l'énoncé : il se peut que $ p = 0 $. Je redonne l'énoncé corrigé :

Exercice. On appelle période d'une suite $ (x_n)_{n \in \mathbb N} $ un entier $ p \in \mathbb N $ satisfaisant $ x_{n+p} = x_n $ pour tout $ n \in \mathbb N $.
Montrer que pour toute suite il existe un entier $ p \in \mathbb N $ tel que les périodes de la suite sont exactement les multiples de $ p $.

J'en profite pour ajouter des indications progressives :

SPOILER:

Que dire de la somme de deux périodes ?

SPOILER:

Si $ p_1 $ et $ p_2 $ sont des périodes avec $ p_1 \geq p_2 $, que dire de $ p_1 - p_2 $ ?

SPOILER:

Prendre pour $ p $ la plus petite période non nulle (si elle existe).

Bon alors je propose : (mais soyez indulgents )

• Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite telle que $ p_1 $ et $ p_2 $ soient des périodes.
On suppose de plus pour la suite que $ p_1 \geq p_2 $.

Alors :

• Soit $ n \in \mathbb{N} $.
On a alors : $ u_n = u_{n + p_1} = u_{n + p_1 + p_2} $ par périodicité. Donc $ p_1 + p_2 $ est également une période.

De plus, soit $ n \geq p_2 $
On a $ u_n = u_{n+p_1} $. Comme $ p_2 $ est également période et que $ n+p_1 \geq p_2 $, on peut écrire (quitte a changer d'indice pour se convaincre) que $ u_n = u_{n+p_1-p_2} $
Donc $ p_1 - p_2 $ est période également.

Maintenant soit $ p $ là plus petite période non nulle de $ (u_n) $ (si elle existe, dans le cas contraire le problème est réglé). En iterant la première propriété (la somme de deux périodes est une période), on montre simplement que les multiples de p sont également des périodes.
De plus soit $ k \in \mathbb{N} $ une autre période non multiple de p (avec donc $ k \geq p $).
On effectue la division euclidienne de k par p : $ k = bp+r $.
k et bp étant deux périodes, alors leur différence l'est aussi. Donc r est une période mais par définition de la division euclidienne r < p donc contradiction

On a donc prouvé la propriété recherchée (a savoir que les périodes de $ (u_n) $ sont exactement les multiples de p).

PS : Je veux bien des indics sur la rédaction pour améliorer un peu tout ça (si tant est que ce que j'ai fait est juste).

[BijouRe]

Un truc que je comprend pas pourquoi $ p_1-p_2 $ est une période ? $ n+p $ est une periode mais en quoi $ n-p $ en est une aussi ?

[Tornado]

Pas mal !

Petite question (c'est pas de la rhétorique) : pourquoi tu ne prouves pas l'existence de $ p_1 $ et de $ p_2 $ ?

Ben c'est pour le début ! Je suppose leur existence pour montrer les deux propriétés qui correspondent au spoiler de Simeon. Le "vrai" raisonnement se trouve dans le dernier paragraphe.

Pour Bijoure : en gros (mal dit) tu peux dire que "si p est une période alors -p aussi" (j'avais prévenu que c'était mal dit ). Évidemment tout ça modulo que l'indice de ta suite soit toujours positif
Donc $ u_n = u_{n+p_1} = u_{n+p_1-p_2} $