Exercices de MPSI

[Sketshup]

@Czarmath, astucieux! J'y ai pas du tout pensé! Moi, dès que j'ai vu les contraintes, j'ai voulu instantanément m'en débarrasser!

SPOILER:

p un nombre premier et a, b entiers naturels. On suppose davantage que p est congru à 3 modulo 4.

Prouver que: p|a² + b² si et seulement si p divise a et b.

[czarmath]

Au maroc en 1re le chapitre du dénombrement commence par la définition de l'équipotence.

[BijouRe]

Ah d'accord x)
Au maroc le programme de math de Tle est BCP plus approfondie que celui en France ^^

[czarmath]

Plus chargé peut être, mais pas plus approfondi. En tout cas ce qui est sûr c'est qu'au maroc la majorité des profs ne sont pas qualifiés mais ça c'est un autre sujet.

[MSman]

En France, il n'y a juste pas de chapitre de dénombrement en 1ère/Terminale.

[Sketshup]

Mais alors pourquoi poster un exercice de dénombrement dans un sujet pré-MPSI?

[BijouRe]

Sketchup tu viens d'un lycée marocain ?

[MSman]

Parce que je pense que c'est le genre d'exos que l'ont peut assez faire "avec les mains" pour avoir des idées qui à ne pas formaliser énormément.
Et parce que certains je crois (notamment je dirais au concours général, olympiades et autres) ont déjà un peu taté ce genre d'exos.

[lsjduejd]

Beware ! Something big is coming up

[Siméon]

p un nombre premier et a, b entiers naturels. On suppose davantage que p est congru à 3 modulo 4.

Prouver que: p|a² + b² si et seulement si p divise a et b.

Indications :

SPOILER:

Une solution élégante consiste à utiliser les nombres complexes.

SPOILER:

Vérifier notamment que si $ p = u v $ avec $ u = \alpha + i\beta $ et $ v = \gamma + i\delta $ pour $ (\alpha,\beta,\gamma,\delta) \in \mathbb Z^4 $, alors $ |u| = 1 $ ou $ |v| = 1 $.