Exercices de MPSI

[lsjduejd]

Il est badass cet exercice si on le fait comme ça, faudrait presque réinventer les anneaux principaux

[Siméon]

Effectivement, je me suis un peu emballé... On peut traiter l'exercice en utilisant simplement l'arithmétique de TS spé maths, mais ça reste dur.

(L'étude des entiers de Gauss est très chouette, mais elle aura plus sa place en MP* qu'à la sortie de terminale.)

[MSman]

Résoudre $ 2^n+1=m^3 $ d'inconnue $ (m,n) \in \mathbb{N}^2 $

[bullquies]

J'en ai un plutôt tordu à proposer.

Vrai ou faux : tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers

[MSman]

Ah ah bonne chance pour l'exo de bullquies.

[spemaths]

MSMAN

SPOILER:

Salut l'égalité :

$ 2^n = (m-1)(m^2 + m + 1) $
Donne qu'il existe k tel que $ m = 2^k + 1 $ et $ m^2 + m + 1 = 2^{n-k} $


Alors $ m^2 + m + 1 = 2^{2k} + 2^{k+1} + 2^k + 3 \in ]2^{2k};2^{2k+1}[ $ et $ m^2 + m + 1 $ n'est pas une puissance de 2
Donc l'équation n'a pas de solutions.

Et bullquies c'est faux pour 0 et 2 x) Pour les autres on conjecture que c'est vrai!

[MSman]

En voilà 3 autres :
1) L’entier 10000000000001 est-il premier ?

2) Montrer que pour tout $ (x,y,z,t,u) \in \mathbb{N}^5$, $x^2+y^2+z^2 \neq (8t+7)4^u $.

3) Soient $ (x_1,\ldots,x_5)$ dans $\mathbb{R}^5 $. On note $ S $ la collection des $ x_i+x_j, i \neq j $.
Connaissant $ S $, retrouver les $ x_i $.

[L'hommeMasque]

SPOILER:

pour la première mon intuition me dit qu'il est premier donc j'aurais utilisé le théorème des deux carrés de fermat Je devrais trouvé 10000000000001 = 1 mod (4) donc j'en déduis qu'il est bien premier

[Siméon]

SPOILER:

pour la première mon intuition me dit qu'il est premier donc j'aurais utilisé le théorème des deux carrés de fermat Je devrais trouvé 10000000000001 = 1 mod (4) donc j'en déduis qu'il est bien premier

Perdu.

[symétrie]

Et donc tout nombre congru à 1 modulo 4 est premier ?