Exercices de MPSI

[L'hommeMasque]

Soit P un point intérieur au triangle ABC. Les droites (AP),(BP)et (CP) coupent H un cercle circonscrit au triangle ABC respectivement au point K,L et M. La tangente en C à H coupe la droite (AB) en S. On suppose que SC=SP.
Montrer que MK=ML

[Siméon]

3) Soient $ (x_1,\ldots,x_5)$ dans $\mathbb{R}^5 $. On note $ S $ la collection des $ x_i+x_j, i \neq j $.
Connaissant $ S $, retrouver les $ x_i $.

Celui-là n'intéresse personne ? Je propose une solution :

SPOILER:

Commençons par remarquer qu'on a accès à $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 $ puisque c'est un quart de la somme des éléments de $ S $.
Par ailleurs, on peut supposer que $ x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5 $ et on peut de même ordonner les valeurs $ s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq s_{10} $ de $ S $.
On vérifie facilement que $ s_1 = x_1 + x_2,\; s_2 = x_1 + x_3, \;s_9 = x_3+x_5,\; s_{10} = x_4 + x_5 $.
La somme $ s_1 + s_{10} = x_1 + x_2 + x_4 + x_5 $ nous donne alors accès à $ x_3 $, et de là on obtient facilement $ x_1,x_2,x_4,x_5 $ à partir de $ s_2,s_1,s_9,s_{10} $.

[MSman]

3) Soient $ (x_1,\ldots,x_5)$ dans $\mathbb{R}^5 $. On note $ S $ la collection des $ x_i+x_j, i \neq j $.
Connaissant $ S $, retrouver les $ x_i $.

Celui-là n'intéresse personne ? Je propose une solution :

SPOILER:

Commençons par remarquer qu'on a accès à $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 $ puisque c'est un quart de la somme des éléments de $ S $.
Par ailleurs, on peut supposer que $ x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5 $ et on peut de même ordonner les valeurs $ s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq s_{10} $ de $ S $.
On vérifie facilement que $ s_1 = x_1 + x_2,\; s_2 = x_1 + x_3, \;s_9 = x_3+x_5,\; s_{10} = x_4 + x_5 $.
La somme $ s_1 + s_{10} = x_1 + x_2 + x_4 + x_5 $ nous donne alors accès à $ x_3 $, et de là on obtient facilement $ x_1,x_2,x_4,x_5 $ à partir de $ s_2,s_1,s_9,s_{10} $.

J'ai exactement la même démonstration.

[Magnéthorax]

Bonsoir,

puisque certains ici n'ont pas froid aux yeux

a^b * a^c = a^(b+c) avec b et c dans R c'est du programme de 4e

Je suis désolé mais maîtriser les puissances ça se fait en quatrième matriser les opérations avec 5^6 ou a^x c'est la même chose mais en plus généralisé, l'exercice ne demande pas plus de notions que ça et c'est la raison pour laquelle il est là.

je me permets de leur demander comment ils calculeraient $ \int_1^2 \cos (\ln (x)) \, \mathrm{d}x $ sans la moindre intégration par parties, ni le moindre changement de variable.

[BijouRe]

$ \int_1^2 \cos (\ln (x)) \, \mathrm{d}x $

SPOILER:

$ \textrm{On integre par partie } \int_1^2 \cos (\ln (x))\,\mathrm{d}x \\ $
$ \textrm{ Posons : } \\
u=cos(\ln(x)) \ u'=-sin(lnx)x^-1 \\
v=x \ v'=1 $
$ \textrm{ On a : } \\
\int_1^2 \cos (\ln (x)) \, \mathrm{d}x={[xcos(ln(x))]}^{2}_{1} + \int_1^2 \sin (\ln (x)) \, \mathrm{d}x $
$ \int_1^2 \cos (\ln (x)) \, \mathrm{d}x=2cos(ln(2))-1+{[xsin(ln(x))]}^{2}_{1} $$ -\int_1^2 \cos (\ln (x)) \, \mathrm{d}x $
$ 2\int_1^2 \cos (\ln (x)) \, \mathrm{d}x=2cos(ln(2))-1+2sin(ln(2)) $
$ \textrm{ Donc : } \\
\int_1^2 \cos (\ln (x)) \, \mathrm{d}x=cos(ln(2))+sin(ln(2))-\frac{1}{2} $

[donniedark]

Sans IPP bijoure

[BijouRe]

Rhoo il a édité son msg aussi x)

[bullquies]

Bonsoir,

puisque certains ici n'ont pas froid aux yeux

a^b * a^c = a^(b+c) avec b et c dans R c'est du programme de 4e

Je suis désolé mais maîtriser les puissances ça se fait en quatrième matriser les opérations avec 5^6 ou a^x c'est la même chose mais en plus généralisé, l'exercice ne demande pas plus de notions que ça et c'est la raison pour laquelle il est là.

je me permets de leur demander comment ils calculeraient $ \int_1^2 \cos (\ln (x)) \, \mathrm{d}x $ sans la moindre intégration par parties, ni le moindre changement de variable.

Je pense que vous abusez à vous révolter comme ça. C'est intuitif, ça marche pareil. De toutes façon quelqu'un qui n'a pas assez de curiosité pour savoir que la puissance 1/2 c'était à peu près pareil qu'une racine carrée n'a rien à foutre en prépa. Ca se voit surtout quand on connaît la dérivée de racine carrée et qu'on fait le rapprochement avec n.x^(n-1)

[Ginzly]

J'ai une preuve mais elle ne rentre pas dans la limite de caractères du forum...

[L'hommeMasque]

J'en avais une aussi mais je dois promener mon chien mais vous inquiétez pas c'est assez trivial rien de bien méchant