Exercices de MPSI

[Tornado]

Bonsoir,

Puisque certains ici n'ont pas froid aux yeux :

Montrer que la seule solution d'entiers naturels de l'équation :

$ x^a-y^b=1 $

pour $ x,a,y,b>1 $ est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

C'est la conjecture de Catalan ça non ? 'Fin j'ai lu qu'elle a été démontrée il y a peu il me semble ...

[into44]

Bonsoir,

Puisque certains ici n'ont pas froid aux yeux :

Montrer que la seule solution d'entiers naturels de l'équation :

$ x^a-y^b=1 $

pour $ x,a,y,b>1 $ est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

C'est drôle une fois, pas deux hein

[Siméon]

Bon, j'ai généralisé la formule d'intégration des polynômes dans $ \mathbb{N} $ mais normalement ça marche quand même...

SPOILER:

$ \int_a^b \cos(\ln x) dx = \displaystyle\int_a^b \displaystyle\frac{e^{i\ln x}+e^{-i\ln x}}{2} dx = 1/2 \int_a^b( x^i + x^{-i}) dx $
$ = (1/2 - i/2) x^{i + 1} + (1/2 + i/2) x^{-i +1} |^b_a $

Et y'a plus qu'a changer les bornes.

À une erreur de calcul près, c'est correct.

[Siméon]

Ah oui, j'ai perdu le $ ~ \frac{1}{2} $ entre la première et la deuxième ligne, merci pour la correction.

Est-ce que la représentation de $ e^{ix} $ et de $ e^x $ en séries de taylor qui montre que l'exponentielle complexe a exactement mêmes propriétés que l'exponentielle "normale" ou y a-t-il autre chose derrière ?

En général, on considère la série de Taylor $ e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} $ comme la définition de l'exponentielle (mais d'autres définitions sont possibles).
À partir de là on prouve que $ e^0 = 1 $, $ e^{z_1 + z_2} = e^{z_1}e^{z_2} $ et $ \frac{d}{dz} e^z = e^z $ dans $ \mathbb C $.

Mais attention, les fonctions de variable réelle $ x \mapsto e^x $ et $ x \mapsto e^{ix} $ n'ont pas les mêmes propriétés : $ \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty $ alors que $ |e^{ix}| = 1 $ pour tout $ x \in \mathbb R $, la fonction $ x \mapsto e^x $ est injective alors que $ x \mapsto e^{ix} $ prend infiniment souvent chaque valeur image, etc.

[apzoeiruty3]

J'aurait une question, ce thread a t'il pour but réel de donné des exercices faisables pour le terminale S de base (en réfléchissant) où est-ce le "jeu" de celui qui a le plus approfondi le programme et qui cherche à tester les autres sur des connaissances hors programmes ? (car personnellement je n'arrive presque aucun exo et pourtant je me situerais plus dans la partie "lycéen S doué en math n'ayant pas approfondi le programme")

[Shadownono]

Bonjour, je suis un lycéen désireux d'approfondir le cours de maths du lycée, en vue de préparer au mieux la rentrée: j'ai cru comprendre que les exercices postés ici étaient plus difficiles que la plupart des exos de terminale et allaient un peu plus loin.

Est-ce que la représentation de $ e^{ix} $ et de $ e^x $ en séries de taylor qui montre que l'exponentielle complexe a exactement mêmes propriétés que l'exponentielle "normale" ou y a-t-il autre chose derrière ?

En fait, j'ai décidé de ne pas aller en prépa. Après tout, je ne suis pas fait pour ça: je ne sais même pas ce qu'est une série de Taylor !
Je vais plutôt me préparer à ma future vie de chômeur, vu que rien d'autre ne m'intéressait.
Merci de m'avoir aidé à ouvrir les yeux, et au revoir

[VanXoO]

Un exo qui ne nécessite pas de hors programme :

Montrer que $ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}} = 2 $.

Indication :

SPOILER:

Commencer par montrer que cette notation a un sens, en montrant qu'une certaine suite converge.

[lsjduejd]

J'aurait une question, ce thread a t'il pour but réel de donné des exercices faisables pour le terminale S de base (en réfléchissant) où est-ce le "jeu" de celui qui a le plus approfondi le programme et qui cherche à tester les autres sur des connaissances hors programmes ? (car personnellement je n'arrive presque aucun exo et pourtant je me situerais plus dans la partie "lycéen S doué en math n'ayant pas approfondi le programme")

Justement, y'a masse d'exercices qui t'attendent et faisables pour le terminale S de base (en réfléchissant) dans les pages précédentes. Tu n'es bien évidemment pas obligé d'arriver à tous les faire (et tu ne seras pas le seul) mais ça sera parce que tu seras pas assez fort... et non à cause de "connaissances hors-programme".


EDIT : Et quand bien même, on va pas empêcher les gens curieux d'être curieux, nan

[KGD]

Deux exos modestes:

Soient $ \alpha, \beta, \gamma $ des complexes. Comparer $ |\alpha + \beta + \gamma| $ et $ |\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha| $.

Déterminer les fonctions $ f: \mathbb N \to \mathbb N $ telles que, pour tout entier naturel n, $ f(n) + f(f(n)) + f(f(f(n))) = 3n $.

[Magnéthorax]

JustSayin' : la fonction de la variable réelle à valeurs complexes $ x\mapsto \exp(ix) $, ne relève pas à proprement parler de l'analyse complexe.

Si on pense qu'il est assez banal de demander à un terminale S de manipuler des nombres comme $ \sqrt{2}^\pi $ (cf. le fil http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=56483), alors pourquoi ne pas pousser un peu et lui faire manipuler $ \sqrt{2}^i $ pendant qu'on y est ?

Pour être clair : je suis sur une ligne "Restons dans le programme et assurons-nous que les bases sont maîtrisées". Cet exercice, c'était pour prendre au mot les tenants d'une ligne "ça marche pareil, suffit de généraliser le matériel déjà rencontré".