J'aimerais comprendre pourquoi RxR (R^2, R l'ensemble des réels) privé d'un point est connexe par arcs.
C'est peut-être évident mais j'aurais besoin d'une preuve claire.
Merci!
Connexité de R^2 privé d'un point
Connexité de R^2 privé d'un point
Bonjour,
J'aimerais comprendre pourquoi RxR (R^2, R l'ensemble des réels) privé d'un point est connexe par arcs.
C'est peut-être évident mais j'aurais besoin d'une preuve claire.
Merci!
J'aimerais comprendre pourquoi RxR (R^2, R l'ensemble des réels) privé d'un point est connexe par arcs.
C'est peut-être évident mais j'aurais besoin d'une preuve claire.
Merci!
Re: Connexité de R^2 privé d'un point
(Je précise que je cherche depuis un moment, j'ai un énoncé qui donne ce résultat et le présente comme évident)
Re: Connexité de R^2 privé d'un point
Fais un dessin, si tu prends 2 points de ton ensemble, est-ce que tu peux les relier par un arc continu ?
Enseignant en PCSI
Re: Connexité de R^2 privé d'un point
Effectivement. Je cherchais à expliciter l'arc.
Merci!
Merci!
Re: Connexité de R^2 privé d'un point
Tu peux quand même chercher à expliciter un arc...
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Connexité de R^2 privé d'un point
Prenez deux points distincts dans cet ensemble. Ils forment un segment. Soit ce segment ne passe pas par l'origine, soit il y passe. Dans le second cas, le cercle (euclidien) dont le segment est un diamètre ne passe pas par l'origine.Tarnation a écrit :Bonjour,
J'aimerais comprendre pourquoi RxR (R^2, R l'ensemble des réels) privé d'un point est connexe par arcs.
C'est peut-être évident mais j'aurais besoin d'une preuve claire.
Merci!
Dernière modification par Magnéthorax le 22 déc. 2015 17:02, modifié 1 fois.
Re: Connexité de R^2 privé d'un point
Merci beaucoup !! C'est beaucoup plus clair
Re: Connexité de R^2 privé d'un point
Pour être pointilleux, cela n'est valable que si le point dont on prive le plan est l'origine. Un changement de repère permet néanmoins de toujours se ramener à ce cas particulier.Magnéthorax a écrit :Prenez deux points distincts dans cet ensemble. Ils forment un segment. Soit ce segment ne passe pas par l'origine, soit il y passe. Dans le second cas, le cercle (euclidien) dont le segment est un diamètre ne passe pas par l'origine.Tarnation a écrit :Bonjour,
J'aimerais comprendre pourquoi RxR (R^2, R l'ensemble des réels) privé d'un point est connexe par arcs.
C'est peut-être évident mais j'aurais besoin d'une preuve claire.
Merci!
Re: Connexité de R^2 privé d'un point
Tu peux aussi passer en polaires, cela devient encore plus simple.
Re: Connexité de R^2 privé d'un point
Ou reprendre l'idée de magnethorax :
faire un cercle de diamètre les deux points.
Ils sont reliés par deux demi-cercles. Comme il n'y a qu'un point qui manque, au pire des cas au moins un des deux demi-cercles permet de joindre les deux points sans problème.
faire un cercle de diamètre les deux points.
Ils sont reliés par deux demi-cercles. Comme il n'y a qu'un point qui manque, au pire des cas au moins un des deux demi-cercles permet de joindre les deux points sans problème.
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona