Connexité de R^2 privé d'un point

[truchement]

Et même en prenant un hyperplan dense en dimension infinie ça reste vrai.

[Jay Olsen]

Oh la la, je propose ce topic pour le prix 2015 de l'enculage de mouches

Laisse les maths sérieuses aux grandes personnes.

Non mais il faut pas deconner, venu un moment...

[alm]

Prenez deux points distincts dans cet ensemble. Ils forment un segment. Soit ce segment ne passe pas par l'origine, soit il y passe. Dans le second cas, le cercle (euclidien) dont le segment est un diamètre ne passe pas par l'origine.

Si on ne désire pas introduire la structure euclidienne, on peut donner une autre preuve valable pour tout $ \mathbb K- $espace vectoriel $ E $ ($ {\mathbb K}={\mathbb R} $ ou $ {\mathbb C} $) de dimension supériere ou égale à $ 2 $ , notmment infinie.
On considére deux points $ a $ et $ b $ de $ E\backslash\{0\} $.
Si $ 0 \in [a,b] $, cela veut dire que la famille $ (a,b) $ est liée.
Il existe un vecteur $ c \in E $ tel que $ (a,c) $ est libre (sinon $ E $ serait égal à la droite vectorielle $ {\mathbb K}a $).
Il en découle que la famille $ (c,b) $ est elle aussi libre, donc $ 0 \not\in [a,c]\cup[c,b] $. On considére le chemin :

$ \gamma:[0,1] \to E $; $ t \mapsto \gamma(t)=\left\{\begin{array}{lcl}(1-2t)a+2tc & \text{si}& t \in\left[0,\frac 12\right]\\ && \\(2-2t)c+(2t-1)b &\text{ si} & t \in \left[\frac 12,1\right] \end{array}\right. $

Le soin est laissé à l'interessé de rédiger le fait que $ \gamma $ est continue et $ \gamma([0,1]) \subset E \backslash\{0\} $