Exercices de MPSI

[phibang]

L'objectif n'est pas de faire des récurrences c'est pour ça

Le résultat est correct mathophilie.

[mathophilie]

Oups oui déso complètement faux

SPOILER:

l'expression que j'ai la flemme de recopier = $ \frac{sin(x)}{2^nsin(\frac{x}{2^n})} ? $

Poussin ? Parce que je suis pas encore une poulette ?

Qu'est ce qui est censé être égal à cette expression ?

J'ai l'impression également qu'il y en beaucoup qui sont astucieux..une petite ou deux questions intermédiaires les rendraient beaucoup plus abordables.


Sinon, je ne sais pas s'il y a une correction, faut demander à Asymetric.

L'autre difficulté c'est qu'on ne peut pas faire des recurrences à tout va, vu que c'est toujours "Calculer" et non "Montrer que"

J'édite pour mettre l'expression... Rhaa tu luttes contre ma flemmardise
La récurrence, c'est plus facile que de calculer soi-même, c'est sans doute pour cela qu'ils veulent nous torturer en remplaçant Montrer que par Calculer ^^ La différence entre le lycée et la prépa hihi
M'enfin rien ne t'empêche de faire une conjecture et de la démo par récurrence

@Tonio1804 : D'accord, merci !

[wallissen]

Oups oui déso complètement faux

SPOILER:

l'expression que j'ai la flemme de recopier = $ \frac{sin(x)}{2^nsin(\frac{x}{2^n})} ? $

Poussin ? Parce que je suis pas encore une poulette ?

Qu'est ce qui est censé être égal à cette expression ?

J'ai l'impression également qu'il y en beaucoup qui sont astucieux..une petite ou deux questions intermédiaires les rendraient beaucoup plus abordables.


Sinon, je ne sais pas s'il y a une correction, faut demander à Asymetric.

L'autre difficulté c'est qu'on ne peut pas faire des recurrences à tout va, vu que c'est toujours "Calculer" et non "Montrer que"

J'édite pour mettre l'expression... Rhaa tu luttes contre ma flemmardise

Du tout ^^ Je voulais vraiment vouloir à quoi ça correspondait

M'enfin rien ne t'empêche de faire une conjecture et de la démo par récurrence

Pour certains oui, mais y en a qui ont l'air vraiment coriaces dans le poly. Je ne vois comment faire simplement une conjecture.
M'enfin le but est aussi de réfléchir un peu, on est d'accord

[mathophilie]

Un exo extrait du poly de LLG :

Trouver les fonctions f de $ \mathbb{R}^{+*} $ dans R dérivables et telles que $ \forall(x,y)\in \mathbb{R}^{+*}, $ $ f(xy) = f(x) + f(y) $ .

@wallissen : Les triviaux sur lesquels je me suis penchée sont accessibles (je n'ai pas regardé les sommes à deux variables, je connais pas ^^), les moins triviaux... Il y en a ça me fait mal aux yeux ^^ Certains me rappellent des souvenirs, notamment :

Calculer $ \sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n}) $

[Yoki]

Ce ne sont pas des sommes à deux variables, mais à deux indices (sisi, il y a une nuance non négligable ).
C'est ce qu'on appelle des sommes doubles, et c'est grosso modo la même chose que les sommes simples, il faut juste manipuler les indices correctement (google pour "plus" d'infos).

[mathophilie]

Ce ne sont pas des sommes à deux variables, mais à deux indices (sisi, il y a une nuance non négligable ).
C'est ce qu'on appelle des sommes doubles, et c'est grosso modo la même chose que les sommes simples, il faut juste manipuler les indices correctement (google pour "plus" d'infos).

Ok merci Je pensais que les sommes doubles c'était avec deux sigmas collés ^^ (fin peut-être qu'on peut écrire des sommes avec deux INDICES avec deux sigmas à un indice ?
Je vais faire des recherches...

[mathophilie]

Je poste pour :

Calculer $ \sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n}) $

Je précise que c'est un calcul pour lequel JeanN nous avait beaucoup guidé, en fait c'est sa résolution, je sais plus où exactement dans le topic des exos sympas lycées. Je poste parce que je trouve cette résolution vraiment jolie, mais il y en a une autre avec division euclidienne, de mémoire...

SPOILER:

$ E(x+\frac{k}{n}) $ ne peut prendre que deux valeurs : $ E(x) $ et $ E(x)+1 $
Dénombrons le nombre de valeurs de k pour lesquelles $ E(x+\frac{k}{n})=E(x) $
Cela revient à $ E(x+\frac{k}{n})<E(x)+1 $
Soit $ x+\frac{k}{n} < E(x) + 1 $

Donc $ E(nx) < nE(x) + n - k $

D'où $ k < nE(x) - E(nx) + n $

Ainsi, $ E(x+\frac{k}{n})=E(x) $ pour $ nE(x) - E(nx) + n $ valeurs de k.


Donc $ \sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})= $$ (nE(x) - E(nx) + n)E(x)+(E(nx)-nE(x))(E(x)+1) $

Soit $ \sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx) $

[mathophilie]

Un autre exo d'analyse extrait du poly de LLG (niveau difficile).
Les spoilers étaient des sous-questions FOURNIES dans le poly, donc il est normal d'avoir besoin de les regarder, je les mets en spoiler pour ceux qui veulent tenter sans regarder (fin perso j"ai direct regardé )

Déterminer les fonctions f de R dans R deux fois dérivables sur R et telles que : $ \forall(x,y) \in R^2, f(x + y) + f(x-y) = 2(f(x) + f(y)). $

Sous-question 1 :

SPOILER:

f est une fonction solution. Calculer f(0). Montrer que f est paire.

Sous question 2 :

SPOILER:

f est une fonction solution. Montrer que $ f'' $ est constante. Conclure.

[wallissen]

Un exo extrait du poly de LLG :

Trouver les fonctions f de $ \mathbb{R}^{+*} $ dans R dérivables et telles que $ \forall(x,y)\in \mathbb{R}^{+*}, $ $ f(xy) = f(x) + f(y) $ .

Houlas exo un peu délicat sans indication , on reconnait toutefois directement la propriété principale de la fonction logarithme.

Je ne sais pas si c'est la seule, mais il y a une manière un peu guidée de le resoudre en cherchant d'abord la dérivée de f.
ça a été posté (et résolu ? ) il y a quelques mois ici http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=56992

En primitivant on retrouve les fonctions proportionnelles à ln

Il doit peut être exister d'autres méthodes plus élégantes de le traiter.

[mathophilie]

Un exo extrait du poly de LLG :

Trouver les fonctions f de $ \mathbb{R}^{+*} $ dans R dérivables et telles que $ \forall(x,y)\in \mathbb{R}^{+*}, $ $ f(xy) = f(x) + f(y) $ .

Houlas exo un peu délicat sans indication , on reconnait toutefois directement la propriété principale de la fonction logarithme.

Je ne sais pas si c'est la seule, mais il y a une manière un peu guidée de le resoudre en cherchant d'abord la dérivée de f.
ça a été posté (et résolu ? ) il y a quelques mois ici http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=56992

En primitivant on retrouve les fonctions proportionnelles à ln

Il doit peut être exister d'autres méthodes plus élégantes de le traiter.

Je trouve pas... Il n'y avait pas de questions subsiliaires sur le poly de LLG... Mais c'était niveau difficile. (de mémoire) Le second que j'ai posté m'a beaucoup plus fait buggé même avec les questions subsiliaires
Effectivement, connaître la fonction logarithme, ca te guide (beaucoup) dans la résolution ^^
En fait pour ce genre d'exo, c'est une méthode d'analyse synthèse, et dans l'analyse, tu as souvent à

SPOILER:

-Remplacer x ou y par des valeurs intéressantes, type 0 / 1 / x / y / 1/x / 1/y etc... pour aboutir à des égalités intéressantes, ou démo que la fonction est paire / impaire, ...
- Dériver une fois ou deux si cela t'est permis en fixant une variable.
En général, après avoir bien ramé avec tout ça, ca marche... Fin, je pense qu'en prépa, ca marchera moins mais c'est pas grave