Diametre d'une boule

[kwiminja]

Bonj , le diametre d'une boule de rayon r dans un espace metrique n'est pas toujours egale a 2r mais c vrai pour un evn.

Comment prouver que cela est vrai pour un evn?

[Païkan]

Bonjour,

Dans le cas d'une boule fermée :

Considérons E un evn et B une boule fermée, de centre a, de rayon r.

Comment majorer la distance entre deux éléments de B ?
Existe-il deux éléments de B qui réalise cette distance ?

Conclure quant au diamètre de B.

Dans le cas d'une boule ouverte :

Considérons E un evn et B une boule fermée, de centre a, de rayon r.
Comment majorer la distance entre deux éléments de B ?
Existe-t-il deux suites de points convergentes de B dans E dont la distance limite est égale à ce majorant ?

Conclure quant au diamètre de B.

[kwiminja]

Pour B fermé:

On a D<=2r

et a-r a+r £ E et la distance = 2r on conclut que D=2r

Pour B ouvert:

On aura D<2r

Puis de meme d(a-r,a+r)=2r donc D=>2r

D'ou D=2r

C correct non?

[Païkan]

Ok pour les majorations mais quelle est la justification ?

Attention ! r est un scalaire, pas un vecteur.

Dans le premier cas pour commencer, comment " ajouter r vectoriellement ?" ?

[Païkan]

Si jamais tu bloques :

SPOILER:

Dans le cas d'une boule fermée :
Soit $ x =a+h \in B, h \neq 0 $. Considérons $ h' = r \frac{h}{||h||} $, $ x' = a + h' $ ainsi que $ x'' = a - h' $. On a $ x' \in B, x'' \in B $ et $ ||x'-x''|| = ||2h'|| = 2r $.

Dans le cas d'une boule ouverte, on construit $ h' $ de même et on pose $ \forall n \in \mathbb{N}^*, h_n = (1-\frac{1}{n})h', x_n = a + h_n, x'_n = a - h_n $. Une caractérisation séquentielle de la borne supérieure permet de conclure.

[kwiminja]

Oui c'est vrai il faut prendre a+hr et a-hr avec h vecteur unitaire

On a donc d(a+hr,a-hr)=2r et appartiennent a E donc D=2r

Dans le cas d B ouverte je ne vois pas l'utilité des suites?

on a D<2r car D cest le sup et comme précedemment on aura 2r<=D dou D=2r

[Païkan]

Pourquoi 2r<= D ?

[kwiminja]

parce qu'on a trouvé un couple de E qui verifie d(x,y)=2r et D est le sup

[Païkan]

Dans le cas de la boule ouverte, x' et x'' ne sont pas dans B.