Hunted a écrit :J'ai un exo : approximez $ \sqrt{2} $ (sans donner une valeur décimale bien sûr...)
SPOILER:
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Dernière modification par wallissen le 04 janv. 2016 19:08, modifié 1 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Oui bien sûr sinon je ne poserais pas la question 
J'te mets un indice en spoiler...
J'te mets un indice en spoiler...
SPOILER:
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Je vous met un exo guidé que j'ai piqué dans un livre (de l'ancien programme) qui nous amène à établir que :
$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = e $
Voici l'exo guidé (mais quand même assez difficile) :
Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on pose : $ I_n = \int_{1}^e \frac{(\ln x)^n}{x^2}\, \mathrm{d}x $
1- On pose, pour tout $ x \in [1 ; e] $ : $ F(x)= \frac{1+ \ln x}{x} $ . Calculer $ F'(x) $ puis en déduire $ I_1 $ .
2- A l'aide d'une intégration par parties, montrez que, $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :
$ I_{n+1} = - \frac{1}{e} + (n+1)I_n $
3- Montrer par récurrence que, $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :
$ \frac{1}{n!} I_n = 1- \frac{1}{e} (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +...+ \frac{1}{n!}) $
4- En utilisant un encadrement de $ \ln x $ sur l'intervalle $ [1 : e] $, montrer que,
$ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :
$ 0 \leqslant I_n \leqslant 1 $
5- En déduire :
$ \lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +...+ \frac{1}{n!} $
$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = e $
Voici l'exo guidé (mais quand même assez difficile) :
Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on pose : $ I_n = \int_{1}^e \frac{(\ln x)^n}{x^2}\, \mathrm{d}x $
1- On pose, pour tout $ x \in [1 ; e] $ : $ F(x)= \frac{1+ \ln x}{x} $ . Calculer $ F'(x) $ puis en déduire $ I_1 $ .
2- A l'aide d'une intégration par parties, montrez que, $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :
$ I_{n+1} = - \frac{1}{e} + (n+1)I_n $
3- Montrer par récurrence que, $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :
$ \frac{1}{n!} I_n = 1- \frac{1}{e} (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +...+ \frac{1}{n!}) $
4- En utilisant un encadrement de $ \ln x $ sur l'intervalle $ [1 : e] $, montrer que,
$ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :
$ 0 \leqslant I_n \leqslant 1 $
5- En déduire :
$ \lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +...+ \frac{1}{n!} $
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Pas sur ce topicwallissen a écrit :C'est Hors programme l'IPP
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
En plus ça n'a rien de bien compliqué, ça vient de la dérivée d'un produit de deux fonctions... Je vois pas pourquoi ils l'ont enlevé du programme... C'était le seul truc qui apportait du contenu au chapitre sur les intégrales, qui le rendait un peu subtil...corderaide a écrit :Ouais bah apprenez la demo de l'ipp et vous allez gagner du temps, en prépa
Vous comprenez, c'était trop lourd, y'avait déjà plein de propriétés du style :
$ \int_{a}^a f(x)\, \mathrm{d}x = 0 $
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
C'était une blague de ma part
Je pense que l'IPP c'est essentiel à connaitre pour faire une grosse partie des exos d'intégral.
Je pense que l'IPP c'est essentiel à connaitre pour faire une grosse partie des exos d'intégral.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Tiens d'ailleurs, vous savez comment approcher sa valeur analytiquement? Si non, vous avez une idée? C'est pas compliqué si vous cherchez bienHunted a écrit :J'ai un exo : approximez $ \sqrt{2} $ (sans donner une valeur décimale bien sûr...)
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ça veut dire quoi "analytiquement" ?Yoki a écrit :Tiens d'ailleurs, vous savez comment approcher sa valeur analytiquement? Si non, vous avez une idée? C'est pas compliqué si vous cherchez bienHunted a écrit :J'ai un exo : approximez $ \sqrt{2} $ (sans donner une valeur décimale bien sûr...)
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Eh oui ! Si vous l'apprenez vous gagnerez au moins une minute en prépa ! Quoique même pas sûr en fait: il faut bien le temps de l'écrire la démo...corderaide a écrit :Ouais bah apprenez la demo de l'ipp et vous allez gagner du temps, en prépa