C'est une bonne idée, mais $ \sqrt{\frac{3}{2}} $ en lui même n'est pas connu, non ? (je sais pas si tu me comprends)Hunted a écrit :Tu prends l'approximation affine de la fonction racine carrée au voisinage de 2. On peut visualiser ça avec la tangente à la courbe : au voisinage du point tangent, les images par la fonction affine correspondent approximativement au images par la fonction à approximer.Yoki a écrit :Un indice: de quelles façons peut-on exprimer les termes d'une suite? L'une d'elle ne te paraît-elle pas plus pratique?
Qu'appelles-tu suite de Héron, peux-tu l'énoncer dans ce cas précis et justifier sa fiabilité?SigmaPi a écrit :'me rappelle les suites de Héron pour approcher la racine d'un réel positif quelconque ça
Comment aurais-tu fait?Hunted a écrit :Moi j'ai pensé à une autre méthode quand j'ai fait l'exo...
Nb: pas la peine de balancer des noms de méthode, je veux simplement voir comment vous faite (vous pouvez écrire le nom de la méthode si ça vous chante, I don't care, mais une condition sine qua non est alors de m'énoncer cette méthode, clairement).
Donc au voisinage du point on a :
$ f(x) \simeq f(a) + f'(a) (x-a) $ (la formule de la tangente) avec $ a $ suffisamment proche de $ x $. L'approximation est d'autant meilleure que $ a $ est proche de $ x $.
Si on prend $ a= \frac{3}{2} $ ça nous donne déjà une approximation correcte :
$ \sqrt{2} \simeq \sqrt{\frac{3}{2}} + \frac{1}{4 \sqrt{\frac{3}{2}}} $
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Pas sûr que calculer la racine de 2 en utilisant la racine de 2 soit très efficace, mais il y a de l'idée dans la méthode utilisée. Essaie plutôt d'utiliser une fonction plus élémentaire la fonction racine carrée, une qui permette de faciliter les calculs.
On peut aussi raisonner géométriquement pour trouver un moyen d'approcher cette fameuse racine...
Je m'arrête pour aujourd'hui, je dois y aller donc je vous répondrai sûrement demain, mais d'autres pourront sûrement répondre à vos prochain messages
On peut aussi raisonner géométriquement pour trouver un moyen d'approcher cette fameuse racine...
Je m'arrête pour aujourd'hui, je dois y aller donc je vous répondrai sûrement demain, mais d'autres pourront sûrement répondre à vos prochain messages
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Bonsoir,
Je me permets :
Je me permets :
Asymetric a écrit :On note $ \tau(n) $ le nombre de diviseurs d'un entier naturel non nul $ n $.
Soit $ n \in \mathbb{N}^* $.
Montrer que $ \displaystyle \sum_{d|n}\tau(d)^3 = \left(\sum_{d|n}\tau(d)\right)^2 $.
Par contre celle-ci est clairement difficile si on est pas trop habitué...
Pour la notation $ d|n $, ça signifie qu'on somme sur tous les diviseurs positifs de $ n $.
On pourra d'ailleurs remarquer la ressemblance avec la formule très connue sur la somme des cubes des entiers naturels.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Youpi !
Je cherchais donc une égalité du type $ f(\sqrt{2})=\sqrt{2} $.
On remarque que $ \sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} $
Bon donc on pose la suite $ u_{n+1} = \frac{2}{u_n} $, mais ca nous arrange pas du tout pour la monotonie de la suite... Donc on repart de l'égalité précédente et on cherche une suite monotone (c'est à dire une fonction f croissante telle que f(u_n) = u_n+1) sur un intervalle d'étude qui dérive de celle-ci...
Remarquons maintenant que $ \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} $ (il parait assez logique de décomposer en mettant une racine de 2 au numérateur et l'autre au dénominateur histoire de tomber sur un entier quand on met au même dénominateur, je ne sais pas si je suis compréhensible ^^)
Donc cette fonction: $ f(x) =\frac{1}{x} + \frac{x}{2} $ commence à bien plaire, on vérifie qu'elle est croissante sur un intervalle particulier positif, un petit coup de dérivée et il s'avère que oui ! En particulier sur $ [\sqrt{2};+\infty[ $. Donc ca va nous arranger pour la monotonie de la suite tant qu'on prend au-dessus de racine de deux
Maintenant prenons un terme u_0 assez grand pour que la suite $ u_{n+1}=f(u_n) $ décroisse vers son point fixe $ \sqrt{2} $. Je sais pas, par exemple 2.
Un coup rapide de récurrence démontre bien que notre suite est décroissante sur N.
Une étude de la différence de $ u_n - \sqrt{2} $ par récurrence nous convainc également qu'elle est minorée par racine de 2, donc convergente
Posons L la limite de cette suite. On a donc $ L = \frac{1}{L} + \frac{L}{2} $
Et on trouve par magie $ L = \sqrt{2} $
Bon bah voilà, on a donc en gros (on pourrait le démo en passant par un encadrement de u_n+1 - racine de 2 rigoureux), la suite étant décroissante :
$ 0 \le u_n - \sqrt{2} \le $ un truc qui tend vers 0
Donc $ \sqrt{2} \le u_n \le \sqrt{2} + $ un truc qui tend vers 0
?
Je cherchais donc une égalité du type $ f(\sqrt{2})=\sqrt{2} $.
On remarque que $ \sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} $
Bon donc on pose la suite $ u_{n+1} = \frac{2}{u_n} $, mais ca nous arrange pas du tout pour la monotonie de la suite... Donc on repart de l'égalité précédente et on cherche une suite monotone (c'est à dire une fonction f croissante telle que f(u_n) = u_n+1) sur un intervalle d'étude qui dérive de celle-ci...
Remarquons maintenant que $ \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} $ (il parait assez logique de décomposer en mettant une racine de 2 au numérateur et l'autre au dénominateur histoire de tomber sur un entier quand on met au même dénominateur, je ne sais pas si je suis compréhensible ^^)
Donc cette fonction: $ f(x) =\frac{1}{x} + \frac{x}{2} $ commence à bien plaire, on vérifie qu'elle est croissante sur un intervalle particulier positif, un petit coup de dérivée et il s'avère que oui ! En particulier sur $ [\sqrt{2};+\infty[ $. Donc ca va nous arranger pour la monotonie de la suite tant qu'on prend au-dessus de racine de deux
Maintenant prenons un terme u_0 assez grand pour que la suite $ u_{n+1}=f(u_n) $ décroisse vers son point fixe $ \sqrt{2} $. Je sais pas, par exemple 2.
Un coup rapide de récurrence démontre bien que notre suite est décroissante sur N.
Une étude de la différence de $ u_n - \sqrt{2} $ par récurrence nous convainc également qu'elle est minorée par racine de 2, donc convergente
Posons L la limite de cette suite. On a donc $ L = \frac{1}{L} + \frac{L}{2} $
Et on trouve par magie $ L = \sqrt{2} $
Bon bah voilà, on a donc en gros (on pourrait le démo en passant par un encadrement de u_n+1 - racine de 2 rigoureux), la suite étant décroissante :
$ 0 \le u_n - \sqrt{2} \le $ un truc qui tend vers 0
Donc $ \sqrt{2} \le u_n \le \sqrt{2} + $ un truc qui tend vers 0
?
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
La suite de Héron dont je parlais tout à l'heure est définie par : Un+1 = Un/2 +1/Un
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
???SigmaPi a écrit :La suite de Héron dont je parlais tout à l'heure est définie par : Un+1 = Un/2 +1/Un
Appelez-moi Héron
Malheureusement, j'ai mis 30 bonnes minutes à trouver une égalité intéressante...
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Euh en fait après recherche je tombe sur : (wiki)SigmaPi a écrit :La suite de Héron dont je parlais tout à l'heure est définie par : Un+1 = Un/2 +1/Un
Suite de Héron :
$ \forall n\in\N\quad x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}2. $
EDIIIIT : Au temps pour moi, j'ai pas séparé en deux fractions (je me comprends)
, oui en fait c'est la même que celle que j'ai trouvée pardon ^^Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
En reprenant ce que j'ai fait, on peut rapporter le calcul d'une racine carrée, à un autre truc.
En particulier :
$ \ln \sqrt{2} = \frac{1}{2} \ln 2 $
Grâce à cette relation on peut déplacer le calcul de $ \sqrt{2} $ au calcul de $ \ln 2 $ .
En particulier, on refait la même approximation affine mais pour le logarithme cette fois :
$ \forall x \in ]0 ; + \infty[ \ln x \simeq \ln a + \frac{x-a}{a} $ pour $ a $ assez proche de $ x $.
Donc, du coup :
$ \ln 2 \simeq \ln (\frac{3}{2}) + \frac{2- \frac{3}{2}}{ \frac{3}{2}} $
$ \ln 2 \simeq \ln (\frac{3}{2}) + \frac{1}{3} $
$ \frac{1}{2} \ln 2 \simeq \frac{1}{2} [ \ln (\frac{3}{2}) + \frac{1}{3} ] $
D'où :
$ \ln \sqrt{2} \simeq \frac{1}{2} [ \ln (\frac{3}{2}) + \frac{1}{3} ] $
En prenant l'exponentielle on obtient directement une approximation de $ \sqrt{2} $ :
$ \sqrt{2} \simeq e^{\frac{1}{2} [ \ln (\frac{3}{2}) + \frac{1}{3} ]} $
Bien sûr, ça suppose qu'on sache calculer cette exponentielle... Bien sûr, on peut améliorer l'approximation de $ \sqrt{2} $ en améliorant celle de $ \ln 2 $ en prenant un nombre plus proche de $ 2 $ que $ \frac{3}{2}) $ et de refaire le même travail.
Je sais pas si c'est une bonne idée ou pas...
En particulier :
$ \ln \sqrt{2} = \frac{1}{2} \ln 2 $
Grâce à cette relation on peut déplacer le calcul de $ \sqrt{2} $ au calcul de $ \ln 2 $ .
En particulier, on refait la même approximation affine mais pour le logarithme cette fois :
$ \forall x \in ]0 ; + \infty[ \ln x \simeq \ln a + \frac{x-a}{a} $ pour $ a $ assez proche de $ x $.
Donc, du coup :
$ \ln 2 \simeq \ln (\frac{3}{2}) + \frac{2- \frac{3}{2}}{ \frac{3}{2}} $
$ \ln 2 \simeq \ln (\frac{3}{2}) + \frac{1}{3} $
$ \frac{1}{2} \ln 2 \simeq \frac{1}{2} [ \ln (\frac{3}{2}) + \frac{1}{3} ] $
D'où :
$ \ln \sqrt{2} \simeq \frac{1}{2} [ \ln (\frac{3}{2}) + \frac{1}{3} ] $
En prenant l'exponentielle on obtient directement une approximation de $ \sqrt{2} $ :
$ \sqrt{2} \simeq e^{\frac{1}{2} [ \ln (\frac{3}{2}) + \frac{1}{3} ]} $
Bien sûr, ça suppose qu'on sache calculer cette exponentielle... Bien sûr, on peut améliorer l'approximation de $ \sqrt{2} $ en améliorant celle de $ \ln 2 $ en prenant un nombre plus proche de $ 2 $ que $ \frac{3}{2}) $ et de refaire le même travail.
Je sais pas si c'est une bonne idée ou pas...
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
La formule générale est celle là :
$ \sqrt{2} \simeq e^{\frac{1}{2} [\ln a + \frac{2}{a} - 1]} $
On peut imaginer que $ a $ soit la limite d'une suite qui tend vers $ 2 $ comme par exemple :
$ \forall n \in \mathbb{N}^*, u_n = 2 + \frac{1}{n} $
Si on calcule un terme suffisamment grand (par exemple $ u_{5000} $) de cette suite qui n'est pas très compliquée à calculer, et si on pose $ a=u_{5000} $ obtiendra une approximation très exacte de $ \sqrt{2} $
$ \sqrt{2} \simeq e^{\frac{1}{2} [\ln a + \frac{2}{a} - 1]} $
On peut imaginer que $ a $ soit la limite d'une suite qui tend vers $ 2 $ comme par exemple :
$ \forall n \in \mathbb{N}^*, u_n = 2 + \frac{1}{n} $
Si on calcule un terme suffisamment grand (par exemple $ u_{5000} $) de cette suite qui n'est pas très compliquée à calculer, et si on pose $ a=u_{5000} $ obtiendra une approximation très exacte de $ \sqrt{2} $
Dernière modification par Hunted le 05 janv. 2016 16:48, modifié 1 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ouais mais le plus dur c'est d'avoir $ ln(a) $ ainsi que l'exponentielle correspondante
Par exemple $ ln(2+\frac{1}{5000}) $ c'est pas si évident que ça à approximer
Par exemple $ ln(2+\frac{1}{5000}) $ c'est pas si évident que ça à approximer