Exercices de MPSI

[Hunted]

Ouais mais le plus dur c'est d'avoir ln(a) ainsi que l'exponentielle correspondante

Ouais mais il faut choisir à un moment... Il existe aussi des formules d'approximation de$ \ln x $ et de $ e^x $, et certaines permettent de calculer plus facilement et rapidement $ e^x $ ou $ \ln x $ que de calculer avec un algorithme directement $ \sqrt{x} $.

Il existe des formules qui permettent de calculer $ e^x $ (voir l'exo précédent avec les factorielles).

On ne pourra jamais écrire $ \sqrt{2} $ comme un truc simple avec des petites fractions d'entiers (justement parce qu'il est irrationnel), donc ce qu'on peut faire c'est soit le calculer directement soit passer par une autre valeur à calculer. Après c'est les ordis et les algo qui s'en chargent.

Mais j'imagine que vu les propriétés des expo/ln et des tas de formules qu'ils mettent en jeu qu'il est bien plus simple d'estimer une exponentielle qu'une racine carrée... Après à confirmer, je ne suis pas expert bien évidemment

[SigmaPi]

En utilisant les formules déjà démontrées, je dirais qu'il est presque aussi aisé d'exprimer $ \sqrt{2} $ que $ ln(2+1/5000) $
On peut comparer ces deux formules par exemple :

[Hunted]

En utilisant les formules déjà démontrées, je dirais qu'il est presque aussi aisé d'exprimer $ \sqrt{2} $ que $ ln(2+1/5000) $
On peut comparer ces deux formules par exemple :

A mon avis, ça ne se limite pas qu'à "la tête de la formule" mais à des considérations trop techniques pour nous comme le temps d'exécution (je crois que "polynomiale" est plus rapide que "exponentiel" par exemple) ou le degré de complexité d'un algorithme. Je connais juste ça comme ça mais je ne pourrais pas beaucoup plus détailler que ça...

[lsjduejd]

On peut imaginer que $ a $ soit la limite d'une suite qui tend vers $ 2 $ comme par exemple :

2

De plus tes histoires d'approximation, ça ne fait pas grand sens... Tu ne quantifies pas l'écart de l'approximation à la valeur initiale : c'est du bon bluff.

Dans le même genre je peux dire :
$ exp(\pi)-\pi=20 $

[Hunted]

On peut imaginer que $ a $ soit la limite d'une suite qui tend vers $ 2 $ comme par exemple :

2

De plus tes histoires d'approximation, ça ne fait pas grand sens... Tu ne quantifies pas l'écart de l'approximation à la valeur initiale : c'est du bon bluff.

Dans le même genre je peux dire :
$ exp(\pi)-\pi=20 $

Je ne comprends pas... Que veut tu dire par écart de l'approximation à la valeur initiale ?

[Yoki]

Bien joué mathphilie ! C'est en effet un bon moyen d'obtenir une valeur approchée de racine de 2 et on voit que ça va vite si on calcule les premiers termes en commençant par 2.
Mais ça m'étonne que personne n'ait pas pensé à utiliser la fonction la plus triviale s'annulant en $ \sqrt2 $ qui s'exprime par: $ x^2 - 2 $.
Ensuite, il suffit d'utiliser l'équation de la tangente et d'exprimer $ x $ à partir de là. On on obtient alors une suite $ (x_n) $ qui a pour limite le nombre voulu.
Si ça vous amuse, vous pouvez essayez de trouver la formule par vous même à partir de ces indications.

Pour info, la méthode de Héron que tu as utilisé est un cas particulier de cette méthode, qui est l'approximation de Newton. Cette méthode permet de calculer des valeurs approchées de zéros de fonctions

[lsjduejd]

On peut imaginer que $ a $ soit la limite d'une suite qui tend vers $ 2 $ comme par exemple :

2

De plus tes histoires d'approximation, ça ne fait pas grand sens... Tu ne quantifies pas l'écart de l'approximation à la valeur initiale : c'est du bon bluff.

Dans le même genre je peux dire :
$ exp(\pi)-\pi=20 $

Je ne comprends pas... Que veut tu dire par écart de l'approximation à la valeur initiale ?

Bah ici par valeur initiale j'entends valeur à approximer (ie $ \sqrt2 $) et par écart de l'approximation, j'entends précision de l'approximation.

Pour info, la méthode de Héron que tu as utilisé est un cas particulier de cette méthode, qui est l'approximation de Newton. Cette méthode permet de calculer des valeurs approchées de zéros de fonctions

Et en arithmétique, y'a le lemme de Hensel.

[Hunted]

J'imagine que si tu veux savoir à quel niveau de précision est l'approximation il suffit de faire la différence de la valeur exacte et de l'approximation, non ?

[lsjduejd]

Juste pour te faire comprendre :

$ 20*\sqrt7=\sqrt{35-\frac{37}{28}} $ à $ \sqrt{35-\frac{37}{28}}-20*\sqrt7 $ près.
Ca te semble intéressant comme affaire ?

[mathophilie]

@Yoki : Merci Je connaissais pas Héron, mais je sens que ca va me changer la vie pour certains exos de suites C'est cool une méthode générale comme ça pour calculer des racines
Je vais regarder pour la méthode des tangentes, mais j'avoue que quand on me parle d'approximation, je pense pas aux tangentes C'est dingue comme parfois penser un problème """algébrique""" """géométriquement""" ca aide !

Je vous met un exo guidé que j'ai piqué dans un livre (de l'ancien programme) qui nous amène à établir que :

$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = e $

Voici l'exo guidé (mais quand même assez difficile) :

Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on pose : $ I_n = \int_{1}^e \frac{(\ln x)^n}{x^2}\, \mathrm{d}x $

1- On pose, pour tout $ x \in [1 ; e] $ : $ F(x)= \frac{1+ \ln x}{x} $ . Calculer $ F'(x) $ puis en déduire $ I_1 $ .

2- A l'aide d'une intégration par parties, montrez que, $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :

$ I_{n+1} = - \frac{1}{e} + (n+1)I_n $

3- Montrer par récurrence que, $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :

$ \frac{1}{n!} I_n = 1- \frac{1}{e} (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +...+ \frac{1}{n!}) $

4- En utilisant un encadrement de $ \ln x $ sur l'intervalle $ [1 : e] $, montrer que,
$ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :
$ 0 \leqslant I_n \leqslant 1 $

5- En déduire :
$ \lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +...+ \frac{1}{n!} $

Je viens de voir ton exo

Wallissen en avait proposer un similaire qui aboutissait au même résultat mais sans intégrales ^^

C'est quoi l'IPP ?