Exercices de MPSI

[mathophilie]

Ouais y'a pas besoin de suites adjacentes, même si ça se fait classiquement comme ça.

Okay bon je vais réflechir

Si t'y arrives, on peut aller un peu plus loin :

Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite d'entiers naturels strictement croissante telle que pour tout entier naturel $ k $, on ait : $ u_k $ divise $ u_{k+1} $.
On suppose de plus que $ S=\sum_{k\in\mathbb{N}}\frac{1}{u_k} $ est rationnel. On note alors $ S=\frac{p}{q} $ avec $ (p,q)\in\mathbb{N^*}^2 $, $ p $ et $ q $ premiers entre eux.

Montrer alors que : $ 2^{-k}u_k\rightarrow +\infty $ est équivalent à ce que $ q $ ne divise aucun $ u_k $.

Merci pour cet exo de prolongement !

Je regarde ça après dîner ^^

[youyou7]

Etudier le comportement de la suite $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ définie par:

$ \begin{cases}
& \text{ } u_0 \in \left ] 0,1 \right [\\
& \text{ } \forall n\in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=1-\lambda u_n^{2}
\end{cases} $

en fonction du paramètre $ \lambda \in \left ] 0,1 \right ] $

[Siméon]

Cher/chère Hunted,

Ton idée est intéressante, mais on ne peut bien sûr pas se ramener à l'hypothèse d'appariement dans le cas général car l'hypothèse (globale) $ a_1\dots a_n = 1 $ ne donne aucune information (locale) sur la valeur des couples $ a_ia_j $.

En raisonnant globalement, et avec un peu d'astuce, on peut tout de même faire aboutir ton idée de n'utiliser que l'inégalité $ x + x^{-1} \geq 2 $. Je crois que c'est Cauchy qui s'en est rendu compte le premier. Voici une indication :

SPOILER:

Démontrer d'abord le résultat pour tout $ n $ de la forme $ n = 2^k $ par récurrence sur l'entier $ k $.

Une autre façon de s'en sortir avec des idées proches consiste à généraliser un peu l'inégalité $ x + x^{-1} \geq 2 $ :

SPOILER:

Étudier les variations de $ x \mapsto nx + x^{-n} $ sur $ ]0,\infty[ $ pour tout $ n \geq 1 $ puis en déduire le résultat par récurrence.

Ceci n'a rien d'exhaustif : le problème posé par King est ultra-célèbre et a des tonnes d'applications et de démonstrations.

[mathophilie]

Cher Siméon, (vous commencez toujours comme cela ^^)

Je me permets de vous poser une question sur cet exercice de King : un raisonnement par l'absurde peut-il aboutir ici ?

Pour l'instant je ne suis parvenue qu'à démontrer que pour toute suite un de la sorte, on a $ \sum_{k=1}^{n }u_k \ge n $ ou $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_k} \ge n $, avec ou non exclusif, lais je ne parviens pas à démontrer le "et"...

Le raisonnement par l'absurde est-il ici la clé ?

Et merci à youyou7 pour son exo Je me pencherai dessus après les autres... Trop d'exos irrésolus ^^

[Hunted]

Cher Siméon, (vous commencez toujours comme cela ^^)

Je me permets de vous poser une question sur cet exercice de King : un raisonnement par l'absurde peut-il aboutir ici ?

Pour l'instant je ne suis parvenue qu'à démontrer que pour toute suite un de la sorte, on a $ \sum_{k=1}^{n }u_k \ge n $ ou $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_k} \ge n $, avec ou non exclusif, lais je ne parviens pas à démontrer le "et"...

Le raisonnement par l'absurde est-il ici la clé ?

Et merci à youyou7 pour son exo Je me pencherai dessus après les autres... Trop d'exos irrésolus ^^

mathophilie, je pense que si tu as démontré le "ou" tu peux te rapporter au "et" en utilisant une loi de De Morgan, en particulier celle-là :

A et B deux propositions :

A et B vraie équivaut à dire que négation(négation de A ou négation de B).

Vu que tu as déjà démontré que A ou B vraie, tu peux sans doute te rapporter plus facilement à négation(négation de A ou négation de B) que de montrer directement que A et B vraie...

[Hunted]

Cher/chère Hunted,

Ton idée est intéressante, mais on ne peut bien sûr pas se ramener à l'hypothèse d'appariement dans le cas général car l'hypothèse (globale) $ a_1\dots a_n = 1 $ ne donne aucune information (locale) sur la valeur des couples $ a_ia_j $.

En raisonnant globalement, et avec un peu d'astuce, on peut tout de même faire aboutir ton idée de n'utiliser que l'inégalité $ x + x^{-1} \geq 2 $. Je crois que c'est Cauchy qui s'en est rendu compte le premier. Voici une indication :

SPOILER:

Démontrer d'abord le résultat pour tout $ n $ de la forme $ n = 2^k $ par récurrence sur l'entier $ k $.

Une autre façon de s'en sortir avec des idées proches consiste à généraliser un peu l'inégalité $ x + x^{-1} \geq 2 $ :

SPOILER:

Étudier les variations de $ x \mapsto nx + x^{-n} $ sur $ ]0,\infty[ $ pour tout $ n \geq 1 $ puis en déduire le résultat par récurrence.

Ceci n'a rien d'exhaustif : le problème posé par King est ultra-célèbre et a des tonnes d'applications et de démonstrations.

Merci pour ces indications !

J'essaierai de partir dans les deux directions proposées dès que j'ai un peu de temps !

[mathophilie]

@Hunted :

Hunted a écrit:
Le rectangle ci-dessous est pavé par 9 carrés. Le carré noir a pour côté une unité.
Quelles sont les dimensions du rectangle?

Image

SPOILER:

En trouvant des égalités entre chacun des carrés à partir du carré unité, je débouche sur le second plus petit carré après le carré unité qui a comme côté 4.
A partir de là, on trouve en posant de nouvelles égalités une autre valeur de côté d'un autre carré, et on débouche sur les dimensions du rectangle qui sont 32 (pour le "vertical" en regardant droit l'écran ^^) et 33 (pour le côté horizontal). Ya probablement des erreurs de calculs, avec tous ces c1, c2, c3 partout ^^

[mathophilie]

Cher Siméon, (vous commencez toujours comme cela ^^)

Je me permets de vous poser une question sur cet exercice de King : un raisonnement par l'absurde peut-il aboutir ici ?

Pour l'instant je ne suis parvenue qu'à démontrer que pour toute suite un de la sorte, on a $ \sum_{k=1}^{n }u_k \ge n $ ou $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_k} \ge n $, avec ou non exclusif, lais je ne parviens pas à démontrer le "et"...

Le raisonnement par l'absurde est-il ici la clé ?

Et merci à youyou7 pour son exo Je me pencherai dessus après les autres... Trop d'exos irrésolus ^^

mathophilie, je pense que si tu as démontré le "ou" tu peux te rapporter au "et" en utilisant une loi de De Morgan, en particulier celle-là :

A et B deux propositions :

A et B vraie équivaut à dire que négation(négation de A ou négation de B).

Vu que tu as déjà démontré que A ou B vraie, tu peux sans doute te rapporter plus facilement à négation(négation de A ou négation de B) que de montrer directement que A et B vraie...

Merci Hunted !

Je connaissais pas cette loi ! (mais je crois que Sigma Pi l'avait utilisé pour une résolution élégante). Ca va probablement me servir

EDIT : Heinnn, après visualisation graphique, je connaissais "officieusement" grâce à ma prof de première... Mais j'y aurais pas pensé Merci ^^

EDIT 2 : Attends un peu mais... [moment de réflexion]

[Hunted]

@Hunted :

Hunted a écrit:
Le rectangle ci-dessous est pavé par 9 carrés. Le carré noir a pour côté une unité.
Quelles sont les dimensions du rectangle?

Image

SPOILER:

En trouvant des égalités entre chacun des carrés à partir du carré unité, je débouche sur le second plus petit carré après le carré unité qui a comme côté 4.
A partir de là, on trouve en posant de nouvelles égalités une autre valeur de côté d'un autre carré, et on débouche sur les dimensions du rectangle qui sont 32 (pour le "vertical" en regardant droit l'écran ^^) et 33 (pour le côté horizontal). Ya probablement des erreurs de calculs, avec tous ces c1, c2, c3 partout ^^

C'est ça

[mathophilie]

Cool