On démo le cas n=2, c'est à dire que la somme de deux inverses est toujours supérieure ou égale à deux.
Rapidement, $ (a+b)^2 \ge 0 $
Donc $ a^2 + b ^2 \ge 2ab $
D'où $ \frac{a^2 + b^2}{ab} \ge $
Ainsi, pour tous a et b réels non nuls, $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 $ (wallissen, allo ? Ca te rappelle le début du topic lycéens ?
)
En appliquant directement cette "propriété" à nos termes ak de la suite an de l'exo on obtient pour tout k compris entre 1 et n, les inégalités :
$ a_k + \frac{1}{a_k} \ge 2 $
En sommant ces inégalités, il vient :
(On la note (1)) : $ \sum_{k=1}^{n}a_k + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} \ge 2n $ pour toute suite (an) répondant à l'hypothèse de départ a1a2...an= 1
Donc, en toute logique, $ \sum_{k=1}^{n}a_k \ge n $ ou $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} \ge n $
On note A la proposition "$ \sum_{k=1}^{n}a_k \ge n $".
B la proposition "$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} \ge n $".
Ici neg équivaut à "négation" (je ne connais pas l'écriture rigoureuse en logique...)
Et C la proposition "La somme des termes d'une suite S définie telle que $ \prod_{k=1}^{n}S_k $ avec $ S_k > 0 $ est supérieure ou égale à n (n naturel)".
C vraie équivaut à (A et B) vraie.
D'après les lois de Morgan (thanks to Hunted ^^), démontrer que C est vraie équivaut à démontrer que négation(negA ou neg B) est vraie.
D'après l'inégalité (1), on remarque que negA équivaut à $ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} > n $ et negB équivaut à $ \sum_{k=1}^{n}a_k > n $
Ainsi, la proposition (negA ou negB) est fausse, car on ne prend pas en compte ici le cas de la coexistence de l'égalité pour les deux propositions A et B, à savoir :
$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} = n $ ET $ \sum_{k=1}^{n}a_k = n $.
Et donc neg(neg A ou negB) est vraie.
Donc (A et B) vraie.
D'où C vraie.
Je sais pas si le raisonnement logique tient debout...
C'est pour cette raison que mon raisonnement précédent est très probablement faux...
