Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Je me demande s'il a vu le pb de son exemple de départ.

[AzertyBob]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

Je tente, je suis pas sûr du tout, on a commencé le chapitre ce matin

SPOILER:

En $ + \infty $:
On pose $ X=1/x $

$ \lim\limits_{x \to + \infty} x(e^{1/x} - cos(1/x)) = \lim\limits_{X \to -0} \frac{1}{X} (e^X - cos(X)) $

Or par définition: $ \lim\limits_{X \to 0} \frac{ e^X - cos(X)}{X} = 1 $ car $ \lim\limits_{X \to 0} cos(X)=1 $

D'où $ \lim\limits_{x \to + \infty} x(e^{1/x} - cos(1/x)) = 1 $

En $ - \infty $:

De meme avec le changement de variable il vient que: $ \lim\limits_{x \to - \infty} x(e^{1/x} - cos(1/x)) = \lim\limits_{X \to 0} \frac{ e^X - cos(X)}{X} = 1 $

[Magnéthorax]

Il n'y a que moi qui suis dérangé par la question de départ de Hunted ?

[Physteur]

sur la difficulté du calcul de la limite de x/exp(-x^2) ? En effet il n'y a aucune astuce mais le programme de term a peut etre évolué

[Sylve]

Il n'y a que moi qui suis dérangé par la question de départ de Hunted ?

Que c'est une limite évidente ?

[SigmaPi]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

Merci !

SPOILER:

En $ + \infty $, on a :

$ \lim\limits_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0 $

Or $ \lim\limits_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 $ car $ exp $ est continue en $ 0 $.

De même :

$ \lim\limits_{x \to 0} \cos (x) = \cos (0) = 1 $ car $ \cos $ est continue en $ 0 $.

Donc par composition :

$ \lim\limits_{x \to + \infty} e^{\frac{1}{x} = 1 $

et

$ \lim\limits_{x \to + \infty} \cos (\frac{1}{x}) = 1 $

Donc finalement la parenthèse tend vers $ 2 $ et l'expression proposée tend vers $ + \infty $ en $ + \infty $ c'est le même topo en $ - \infty $ puisque l'inverse tend vers $ 0 $ lorsque $ x $ tend $ - \infty $ aussi.

Possible que j'ai fait une erreur quelque part, je poste rapido

La parenthèse tend vers "0" en fait 1-1

[SigmaPi]

Il y a un $ - $ :>

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

SPOILER:

Règle de l'Hôpital imo

On pose $ y = \frac 1 x $. $ \lim\limits_{x \to +\infty} y = 0 $

$ $x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) = \frac{e^y-cos \: y}{y}$ $

$ $\lim\limits_{y \to 0} \frac{e^y-cos \: y}{y} = \lim\limits_{y \to 0} \frac{e^y + sin \: y}{1} = 1$ $

D'où : $ \lim\limits_{x \to +\infty} x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) = 1 $

La Règle de l'Hôpital est au programme ? :O

[Sylve]

Non, mais je voyais pas comment faire autrement

[SigmaPi]

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

Je tente, je suis pas sûr du tout, on a commencé le chapitre ce matin

SPOILER:

Or par définition: $ \lim\limits_{X \to 0} \frac{ e^X - cos(X)}{X} = 1 $ car $ \lim\limits_{X \to 0} cos(X)=1 $

Pourquoi ?

Ma résolution :

SPOILER:

On a, en posant $ X = 1/x $

$ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

= $ \frac{e^X-cos(X)}{X} $

Or quand $ x \rightarrow \infty $, $ X \rightarrow 0 $
La limite à calculer est donc égale à : $ lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-cos(x)}{x} $

Considérons la fonction $ f : x \rightarrow e^x-cos(x) $
Cette fonction est dérivable dans un intervalle centré en $ 0 $, et $ f'(x) = e^x + sin(x) $ donc $ f'(0) = 1 $

Mais aussi, $ lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-cos(x)}{x} $ = $ lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} $ $ = f'(0) = 1 $

La limite à calculer est bien égale à 1

[Magnéthorax]

sur la difficulté du calcul de la limite de x/exp(-x^2) ? En effet il n'y a aucune astuce mais le programme de term a peut etre évolué

Le truc, c'est que l'auteur voudrait du niveau 2 alors qu'il devrait surtout assurer les bases.

Quand j'étais en première et que je feuilletais des livres de term au C.D.I, les intégrales et les limites me paraissaient comme le saint gräâl du lycéen