Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Il n'y a que moi qui suis dérangé par la question de départ de Hunted ?

Que c'est une limite évidente ?

Oui si on a eu reçu un cours normal.

[Magnéthorax]

SigmaPi: arrêtez les drogues dures

[SigmaPi]

c'est pas un peu méchant ce que vous venez de dire ?

[Sylve]

Ma résolution :

SPOILER:

On a, en posant $ X = 1/x $

$ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

= $ \frac{e^X-cos(X)}{X} $

Or quand $ x \rightarrow \infty $, $ X \rightarrow 0 $
La limite à calculer est donc égale à : $ lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-cos(x)}{x} $

Considérons la fonction $ f : x \rightarrow \frac{e^x-cos(x)}{x} $
Cette fonction est dérivable dans un intervalle centré en $ 0 $, et $ f'(x) = e^x + sin(x) $ donc $ f'(0) = 1 $

Mais aussi, $ lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-cos(x)}{x} $ = $ lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} $ $ = f'(0) = 1 $

La limite à calculer est bien égale à 1

SPOILER:

Comment $ f $ peut-elle être dérivable en 0 sans être définie en 0 ?

[SigmaPi]

Ah ouais ok
je me suis trompé dans l'écriture de f, il n'y a pas de dénominateur (ça arrive quand on veut écrire rapidement en latex sur un petit écran en enchaînant les Ctrl+C et Ctrl+V) donc mea culpa. j'ai corrigé

[Magnéthorax]

c'est pas un peu méchant ce que vous venez de dire ?

C'est votre tuteur légal qui m'a demandé de vous le dire, je ne fais que transmettre.

[lsjduejd]

SigmaPi: arrêtez les drogues dures

Ok.
Sauf que c'est le seul qui a trouvé...

[Magnéthorax]

J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

Je tente, je suis pas sûr du tout, on a commencé le chapitre ce matin

SPOILER:

En $ + \infty $:
On pose $ X=1/x $

$ \lim\limits_{x \to + \infty} x(e^{1/x} - cos(1/x)) = \lim\limits_{X \to -0} \frac{1}{X} (e^X - cos(X)) $

Or par définition: $ \lim\limits_{X \to 0} \frac{ e^X - cos(X)}{X} = 1 $ car $ \lim\limits_{X \to 0} cos(X)=1 $

D'où $ \lim\limits_{x \to + \infty} x(e^{1/x} - cos(1/x)) = 1 $

En $ - \infty $:

De meme avec le changement de variable il vient que: $ \lim\limits_{x \to - \infty} x(e^{1/x} - cos(1/x)) = \lim\limits_{X \to 0} \frac{ e^X - cos(X)}{X} = 1 $

Faut digérer un peu avant d'attaquer le fromage.

[Magnéthorax]

SigmaPi: arrêtez les drogues dures

Ok.
Sauf que c'est le seul qui a trouvé...

Pour y parvenir, il avait quand même écrit quelque-chose comme $ (\frac{u}{v})'=\frac{u'}{v'} $ avant de le corriger. Au bénéfice du doute, vous avez raison.

[SigmaPi]

Je sais pas mais je préférais la version sérieuse et rigoureuse, mais qui donnait des conseils et des indications sensés, sans se montrer agressif ou faire des piques désagréables. Surtout si c'est sans dire d'où vient l- 'hypothétique- problème dans la résolution que vous dénigrez

Je ne sais pas si c'est pour "rire" mais c'est tjrs désagréable pour les autres