Géométrie en prépa ?

[Siméon]

Cette discussion me fait penser à l'énigme suivante (hors sujet, mais intéressante) :

Comment justifier que la distance mesurée par la règle graduée est la distance euclidienne ?

Indication / suite de la question :

SPOILER:

Que démontre le théorème de Pythagore ?

[Magnéthorax]

Par expérience, je dirais que c'est la notion de démonstration qui les rebute : c'est au collège que les élèves sont initiés à cette activité, dans le cadre de la géométrie élémentaire. Géométrie = démonstration = difficile car exigent sur le plan du raisonnement à cet âge. Calculs = suite de symboles dénuée de sens = facile car l'absence de justification est l'usage àcet âge. Donc on préfère les calculs au détriment des maths.

Au collège ou au lycée sans doute, mais je pensais surtout aux élèves de prépa et à ceux qui se préparent à y aller. J'ose espérer qu'ils sont moins rebutés par l'exigence de démonstration.

Il y a peut-être ici un paradoxe fondamental. On peut opposer caricaturalement deux pratiques qui conduisent à deux visions :

1. Celle des élèves : les maths, c'est résoudre des exos à gogo. Je fais ça depuis ma plus tendre enfance. C'est ça les maths que j'ai toujours pratiquées et il n'y a pas de raison de penser qu'elles puissent être autre chose. Sinon, mes nombreux profs me l'auraient signalé. Je sais vaguement que c'est utile dans d'autres domaines du savoir. Typiquement : j'ai une situation que je reconnais, je mets en oeuvre la démarche qui a été prescrite ultra verticalement.

2. Celle qui consiste à s'intéresser à des faits fondamentaux liés à certains objets abstraits, démontrer des propriétés relatives à ces objets, construire des outils pour répondre à des problèmes théoriques et pratiques. La démonstration et la réflexion critique sont au coeur de l'activité.

Si un élève réussit bien avec la vision 1, il est en droit d'aimer ça et de penser que ça sera ça les maths dans le supérieur. Il peut donc décider d'aller en sup alors qu'il n'a développé aucune appétence pour l'activité réelle en maths. Ce qui n'est pas entièrement de sa faute. Les enseignants et autres personnes informées portent une lourde responsabilité dans ce fourvoiement. Il y a bien sûr des raisons à ça.

[Magnéthorax]

1. Problem solver
2. Développeur de théorie

Les deux types de mathématiciens ont brillé dans l'histoire des maths (Erdős était un PS, Grothendieck un DT).
PS ≠ pas rigoureux !

Si seulement... Je pense que la première catégorie que j'ai mentionnée ne se confond pas avec celle très générale du "problem solving". C'est un truc très spécialisé qui pourrait s'appelait "bachelor problem solving". Une autre question qui nous éloignerait est le lien entre les deux catégories que vous discernez : par exemple, développer une théorie peut répondre à une question de problem solving qui a un caractère un peu général (du style : "Peut-on attribuer à chaque partie de $ \mathbb{R} $ un nombre positif de manière à prolonger convenablement la notion de longueur d'un intervalle ?")

[ladmzjkf]

A vous lire, on dirait que ne pas apprécier la géométrie est le signe d'une approche ''non visuelle-calculatoire-les maths c'est que des astuces parachutées qu'on cherche''. A mon avis c'est faux ; je tiens à représenter systématiquement les objets et résultats de mon cours et des exos ( au moyen de schémas ou même mentalement),mais je préfère largement visualiser des résultats d'analyse sympa ou des formules combinatoires que de chercher le rayon du cercle inscrit au triangle machin. C'est juste une question de goût et vu que les programmes sont assez pauvres et déstructurés en géométrie , une éventuelle retrouvaille en prépa à un certain niveau d'exigence m'embêtait beaucoup, voilà tout.

[Magnéthorax]

A vous lire, on dirait que ne pas apprécier la géométrie est le signe d'une approche ''non visuelle-calculatoire-les maths c'est que des astuces parachutées qu'on cherche''. A mon avis c'est faux ; je tiens à représenter systématiquement les objets et résultats de mon cours et des exos ( au moyen de schémas ou même mentalement),mais je préfère largement visualiser des résultats d'analyse sympa ou des formules combinatoires que de chercher le rayon du cercle inscrit au triangle machin. C'est juste une question de goût et vu que les programmes sont assez pauvres et déstructurés en géométrie , une éventuelle retrouvaille en prépa à un certain niveau d'exigence m'embêtait beaucoup, voilà tout.

Personne n'a ici prétendu qu'il fallait se farcir le catalogue des propriétés des triangles. Simplement, prenez conscience que si vous pouvez vous représenter vos "résultats sympas d'analyse", c'est parce que vous avez fait de la géométrie auparavant.

En résumé, je dirais que la géométrie repérée est un outil transversal dont il est difficile de faire l'économie : en physique, elle rabat les vecteurs sur des nombres, en maths aussi et elle peut motiver l'étude des systèmes linéaires, l'algèbre linéaire puis bilinéaire. La géométrie d'incidence, "affine", est à peu près délaissée.

[Magnéthorax]

Autant je comprends que la géométrie on puisse aimer, mais pour le coup, je connais pas grand monde que le calcul enchante. :@

Allez dans une classe de terminale, faites deux heures de géométrie dans l'espace sans aucun calcul (cf. la partie du programme sur les positions relatives des droites et des plans, le "théorème du toit" etc.), faites étudier des exercices où on demande de prouver du parallélisme, de l'alignement, de l'incidence sans aucun calcul.

Revenez le lendemain en disant : "Bon, en fait on prend un repère : les points c'est des triplets, les droites et les plans c'est des solutions d'équations simples (ou des choses décrites paramétriquement, aïe) et les questions d'hier sont ramenées à l'étude des solutions de petits systèmes formés d'équations simples." Faites faire des exercices qui commencent par "Le repère choisi est ... Déterminez les coordonnées des points ..., puis des vecteurs... Prouvez tel alignement etc."

A votre avis, au cours de quelle séance sentirez-vous les élèves complètement paumés ? Rassurés ?

Donc oui, certains finissent par aimer le calcul pour le calcul : ils ont l'impression de faire quelque-chose et ils savent que s'il y a bien des risques d'erreur, le correctif à apporter est en général simple : il suffit de se faire rappeler quelques "formules" et autres procédures. De plus, ils savent souvent qu'ils disposent d'outils de vérification.

Pour la première séance, il faut percevoir, observer, argumenter (donc utiliser la langue et des outils qui remontent au collège), rédiger. Dans l'absolu, il faudrait aussi faire ça dans la deuxième. Mais le repère est souvent fixé par l'énoncé et on (les élèves, les profs qui corrigent leurs travaux) considère ensuite les alignements de symboles comme auto-justification. Une petite phrase de conclusion pour faire plaisir et c'est plié.

[Magnéthorax]

Qu'on se comprenne bien : je ne dis pas que les maths c'est ceci et pas cela. Ce que je dis, c'est que c'est une activité qui a plusieurs aspects et que c'est malhonnête de laisser penser que cela n'est que procédures de résolution d'exos calibrés. C'est malhonnête vis-à-vis des élèves et de leurs parents s'il ne sont pas informés et c'est violent vis-à-vis de ce que l'on pourrait appeler la "communauté mathématique" : tandis que des personnes oeuvrent à populariser sans trahir dans les grands médias, un travail de sape profond, institutionnalisé, vise objectivement à vider leur enseignement de ce qui fait (une bonne partie de) leur diversité pour les cantonner sagement au rôle d'outil pour les autres sciences.

A quand la philo exclusivement envisagée comme réserve conceptuelle du marketing, du management et caution morale à l'économisme, le petit supplément d'âme qui lave des derniers soupçons ?

[Magnéthorax]

Je ne comprends pas l'équivalence que vous dressez entre "problem solving" et "calcul bête et méchant". Mais au fond, que vouliez-vous dire concernant ces concours ?

[Physteur]

+1 JustSayin', y a pas mal de sujets (dont le X MP Maths B 13) ou c'est juste du gros calcul pour le plaisir du calcul et pas de résultat intéressant à la fin, c'est parce que toute ne partie du programme de spé est consacrée uniquement à ce genre de techniques de calcul notamment sur l'intégration...
C'est sur que là on est plus dans le calcul hard que dans la réflexion abstraite.

[MATHADOR]

Soit-dit en passant, les gens qui invoqueraient ces résultats d'équivalence entre l'abstrait et le concret pour s'empêcher de théoriser(dans le genre d'Arnol'd) ne sont pas de bons mathématiciens.

Je ne peux qu'être d'accord avec ça. Mais c'est vrai que ça ne fait pas de mal de le rappeler car on se rend compte que même au sein des cursus les plus fondamentaux il y a des gens qui ont une philosophie à l'encontre de cette dernière.

Concernant l'étude des coniques et des courbes paramétrées en sup (je crois que ça a disparu mais bon) cela était essentiellement réalisé dans une optique de "préparation aux cours de physique", autant dire l'échelle zéro de la réflexion. Bien sûr il y a quelques vrais exercices de maths à poser sur le sujet mais ça restait anecdotique.

1. Problem solver
2. Développeur de théorie

Les deux types de mathématiciens ont brillé dans l'histoire des maths (Erdős était un PS, Grothendieck un DT).
PS ≠ pas rigoureux !

Ton message laisse supposer qu'il n'y en a pas un dont l'apport a été négligeable par rapport à l'autre et qu'après tout, ces deux types de mathématiciens se valent.