Comment aborder l'électromagnétisme ?

[Thymauthée]

Salut à tous(tes) !

Je suis actuellement en deuxième année et je mange de l'électromagnétisme en grande quantité. Seulement voilà : je n'arrive pas à comprendre vraiment où est la physique dans toutes ces formules.
Concrètement, que représentent les opérateurs div, grad ou rot ? Pourquoi Ostrogradsky et Stokes ?
Je suis vraiment paumé devant le moindre exercice ( en régime variable en particulier, l'électrostatique et le magnétisme en régime permanent c'est finalement un peu toujours la même chose) et j'ai vraiment la sensation de ne faire que des maths bourrins à souhait ( et en plus je ne comprenais rien concernant les dérivées partielles jusqu'au cours de math où une phrase toute simple explique tout ...).

Alors voici ma question : comment peut on avoir une approche plus physique de l'électromagnétisme au moins au début ? Je sais que ces équations sont fabuleuses malgré tout et un passage obligé, mais j'ai vraiment du mal à faire abstraction de cette petite voix qui me dit "Pourquoi tu fais ça ?". Existe-t-il un bon bouquin de vulgarisation scientifique à ce sujet avec des explications complètes sur ces équations ?

Merci beaucoup !

[abouMPSI]

Pourquoi tu fais ça ?

En vue des concours.

[MonsieurMoi]

Pour moi, c'est plutôt le contraire : c'est une des parties du programme où je peux laisser le plus mon sens physique s'exprimer, contrairement à l'électrocinétique par exemple.

Même si on ne maîtrise pas l'analyse vectorielle (au sens mathématique), il est assez facile de donner un sens physique aux opérateurs.

Le gradient, qui s'applique à un champ scalaire, est un vecteur orienté dans le sens de la plus forte variation du champ. Si par exemple, la température est constante selon z, varie peu selon x et beaucoup selon y, la composante du gradient de la température en ce point selon uz sera nulle, celle selon ux sera petite et celle selon uy sera grande. Donc le vecteur grad(T) en ce point sera "presque colinéaire à uz, et légèrement incliné vers ux".

Pour la divergence, j'aime bien me dire qu'elle mesure le caractère d'un champ de vecteurs à partir en c**illes Je m'explique. Supposons qu'il n'y ait de charge nulle part, sauf en un point. En ce point, div(E) est non nulle, d'après l'équation de Maxwell-Gauss, et les lignes de champ... divergent à partir de ce point (elle partent en c**illes quoi ). Sinon, tu peux voir les choses d'un point de vue global. Lorsque div(E) est nulle, le flux à travers une surface fermée est nul, et donc, il se conserve le long d'un tube de champ. Tout ce qui ressort par la surface considérée est forcément entré d'abord dans cette surface, car justement, div(E) est nulle : il n'y a pas eu de "création de flux" à l'intérieur de la surface fermée. Le théorème d'Ostrogradsky permet de passer du point de vue local au point de vue global. La valeur éventuellement non nulle d'un flux à travers une surface fermée est uniquement due à la "création de flux" au sein de cette surface. Elle est donc égale à la somme des contributions de chaque volume infinitésimal à la création de flux, la somme des div(E)dtau (désolé, je sais pas utiliser le latex ). D'ailleurs, si tu fais tendre le volume sur lequel t'intègre vers dtau autour d'un point donné, tu trouves que div(E)dtau égale le flux de E à travers une surface fermée infinitésimale autour du point considéré. Ainsi, si rho est non nulle, donc s'il y a de la charge, div(E) est non nulle, et il y a "création de flux" : ce qui sort par cette surface n'y est pas entré avant, mais vient de l'intérieur de la surface fermée, d'où la divergence des lignes de champ de E à partir de ce point.

Pour le rotationnel, c'est un peu pareil. Lui par contre, il mesure le caractère tournant d'un champ de vecteur. Plus en un point, un champ de vecteurs sera tournant, c'est-à-dire plus le rayon du cercle à une portion duquel on peut localement assimiler les lignes de champ est petit (on peut localement assimiler une courbe à une portion de cercle), ou encore plus le champ de vecteurs tourne brutalement, et plus le rotationnel sera grand en norme. (Ainsi, l'équation de Maxwell-Faraday indique que plus le champ électrique varie brutalement, et plus le champ magnétique est tournant.) Là aussi, le théorème de Stokes permet de passer du point de vue local au point de vue global. Supposons que t'aies un champ B uniforme mais non nul. Le rotationnel est alors nul (toujours observer le cas de nullité de la grandeur qui nous intrigue). Imaginons que tu mesures "à la main" la circulation de B le long d'un contour fermé, en faisant passer ton doigt dessus, et on additionnant les Bdl au fur et à mesure que tu parcoures le contour. Supposons que tu commences à le parcourir dans le sens du champ (avec un angle entre B et dl inférieur à 90°). Les contributions Bdl seront alors positives, plus ou moins selon l'angle entre B et dl. Mais quand tu reviens dans l'autre sens (lorsque l'angle entre B et dl est supérieur 90°), les contributions sont négatives. Ce que t'as gagné dans un sens, tu le reperds de l'autre, car le champ B ne tourne pas, il ne suit pas le mouvement de ta main. Au final, d'après le théorème de Stokes, la circulation de B le long de ce contour fermé est nulle. De façon plus générale, le théorème de Stokes nous indique que la circulation de B le long d'un contour fermé est égal à la somme des circulations le long de contours fermés infinitésimaux à l'intérieur du gros contour, chacun étant égal à rot(B)ds, avec ds le vecteur surface associé au contour infinitésimal. Donc, plus le champ B tourne dans le même sens, et plus le circulation le long d'un contour fermé est grande.



Bien évidemment, tout ce que je viens d'écrire n'a rien de rigoureux scientifiquement, mais tu voulais de la vulgarisation .

[abouMPSI]

Le gradient, qui s'applique à un champ scalaire, est un vecteur orienté dans le sens de la plus forte variation du champ.

Par analogie de vocabulaire, ça me fait penser à "dégradé de couleurs".

le rotationnel [...] mesure le caractère tournant d'un champ de vecteurs.

Là aussi, vu son nom, ça me semble assez logique en première approche.

[Thymauthée]

Mazette en voilà une réponse fournie ! Et claire en plus ! Je te remercie mille fois d'avoir pris la peine de m'expliquer ceci, c'est vraiment une belle faveur que tu me fais là.

Merci, merci et encore merci !

[SL2(R)]

Pour le rotationnel, c'est un peu pareil. Lui par contre, il mesure le caractère tournant d'un champ de vecteur. Plus en un point, un champ de vecteurs sera tournant, c'est-à-dire plus le rayon du cercle à une portion duquel on peut localement assimiler les lignes de champ est petit (on peut localement assimiler une courbe à une portion de cercle), ou encore plus le champ de vecteurs tourne brutalement, et plus le rotationnel sera grand en norme.

Contre-exemples :

• 1. Champ magnétique crée en un point M par un fil rectiligne illimité parcouru par un courant permanent (en coordonnées cylindriques) :
  $ \vec{B} \ = \ \displaystyle \frac{\mu_0 \, I}{2 \, \pi \, r} \ \vec{u}_{\theta} $
  Les lignes de champs sont les cercles ($ r = \text{cte}, \ z = \text{cte} $) : "ça tourne" et le rotationnel est identiquement nul en tout point extérieur au fil ($ r > 0 $).
  
  
  2. Champ de vitesse d'un fluide en "écoulement de Couette plan" (en coordonnées cartésiennes) :
  $ \vec{v} \ = \ V_0 \ \displaystyle \frac{y}{a} \ \vec{u} _x $
  Les lignes de champs sont les droites ($ y = \text{cte}, \ z = \text{cte} $) : "ça ne tourne pas" et le rotationnel est non-nul en tout point de l'écoulement ($ 0 < y < a $) :
  $ \vec{\nabla} \wedge \vec{v} \ = \ - \ \displaystyle \frac{V_0}{a} \ \vec{u} _z $

[MonsieurMoi]

Mazette en voilà une réponse fournie ! Et claire en plus ! Je te remercie mille fois d'avoir pris la peine de m'expliquer ceci, c'est vraiment une belle faveur que tu me fais là.

Merci, merci et encore merci !

Y a pas de quoi, mais fais gaffe, comme tu peux le voir, j'ai dit quelques conneries

Pour le rotationnel, c'est un peu pareil. Lui par contre, il mesure le caractère tournant d'un champ de vecteur. Plus en un point, un champ de vecteurs sera tournant, c'est-à-dire plus le rayon du cercle à une portion duquel on peut localement assimiler les lignes de champ est petit (on peut localement assimiler une courbe à une portion de cercle), ou encore plus le champ de vecteurs tourne brutalement, et plus le rotationnel sera grand en norme.

Contre-exemples :

• 1. Champ magnétique crée en un point M par un fil rectiligne illimité parcouru par un courant permanent (en coordonnées cylindriques) :
  $ \vec{B} \ = \ \displaystyle \frac{\mu_0 \, I}{2 \, \pi \, r} \ \vec{u}_{\theta} $
  Les lignes de champs sont les cercles ($ r = \text{cte}, \ z = \text{cte} $) : "ça tourne" et le rotationnel est identiquement nul en tout point extérieur au fil ($ r > 0 $).
  
  
  2. Champ de vitesse d'un fluide en "écoulement de Couette plan" (en coordonnées cartésiennes) :
  $ \vec{v} \ = \ V_0 \ \displaystyle \frac{y}{a} \ \vec{u} _x $
  Les lignes de champs sont les droites ($ y = \text{cte}, \ z = \text{cte} $) : "ça ne tourne pas" et le rotationnel est non-nul en tout point de l'écoulement ($ 0 < y < a $) :
  $ \vec{\nabla} \wedge \vec{v} \ = \ - \ \displaystyle \frac{V_0}{a} \ \vec{u} _z $

Je ne sais pas comment je n'ai pas pensé au premier exemple, alors que j'avais bien le résultat sous forme intégrale en tête (µI = 2pirB). En fait, le rotationnel ne mesure pas vraiment le caractère "tournant" d'un champ de vecteurs, mais plutôt son caractère "tourbillonnant". Il ne suffit pas que le champ de vecteur "tourne" en un point pour que le rotationnel soit non nul, mais il faut que ça "tourbillonne" autour de ce point, qu'il tourne "plus d'un côté que de l'autre" (ça rejoint plus ou moins ce que j'ai dit à la fin de mon message). Pour reprendre l'exemple du champ créé par un fil infini :



Le champ est B est représenté en rouge, et la circulation est calculée sur le contour noir. Sur un rayon du cercle, Bdl est nul car les 2 vecteurs sont orthogonaux. On suppose que ce contour est infinitésimal. On voit qu'à droite du point M, ça tourne dans le sens antihoraire, alors qu'à gauche, ça tourne dans le sens horaire. Bien que la portion de droite soit plus longue, le champ est plus intense sur la portion de gauche (décroissance en 1/r), donc ça compense, et au final la circulation est nulle, et donc Rot(B(M)) = 0.

Ce que t'as gagné dans un sens, tu le reperds de l'autre, car le champ B [...] ne suit pas le mouvement de ta main.

L'exemple 2, l'écoulement de Couette-Plan, qui est classique, contredit parfaitement ce que j'ai dit au début : les lignes de champ sont des droites, mais pourtant le rotationnel est non nul. Cependant, on ne peut pas dire que "ça ne tourne pas", car si on imagine qu'on pose une allumette sur un liquide en tel écoulement, l'allumette tourne. Sinon, vu qu'on parle de mécanique des fluides, dans cet exemple, les particules de fluides tournent, donc l'écoulement est rotationnel.


La longueur est flèches est proportionnelle à la vitesse de l'écoulement.

Autre exemple pour la route. Imaginons le champ de vecteurs suivant :


Alors la, ça tourne vraiment bien Mais à cause de la symétrie, le rotationnel au centre est nul.

Dernière chose :


Le rotationnel au centre est plus grand sur le schéma de droite, en supposant que la répartition des normes des vecteurs soit la même sur les deux schémas, car le rayon de courbure est plus faible (courbure plus "forte"). Je te laisse admirer mes talents de graphiste

Dont pour résumer, plus le champ tourne plus d'un côté que de l'autre autour d'un point (pas joli à dire) (tenir compte de la norme des vecteurs, de la courbure et de la longueur sur laquelle ça tourne de chaque côté), et plus le rotationnel est grand en norme. Sinon, le theorème de Stokes donne une bonne définition claire : plus la circulation sur un contour fermé infinitésimal autour d'un point est grande, est plus le rotationnel en ce point est grand.

Désolé pour l'incorrection du premier message, mais là je pense que c'est mieux et merci à SL2(R) pour sa remarque.