Exercices de MPSI

[youyou7]

Juste, pour l'exo de youyou7, 0.75 n'est pas la valeur de lambda à trouver pour distinguer le cas convergent du cas n'admet aucune limite ??

Bienvenue à Syl20, ton pseudo ressemble étrangement à celui de Sylve

Oui c'est la valeur qu'il fallait trouver, et effectivement, dans un cas, elle converge, dans l'autre elle diverge sans limite. Concentre toi sur le second cas, et caractérise plus précisément le comportement de la suite.(notamment en discutant selon la valeur de $ u_0 $ )

[mathophilie]

Hm je pensais que la divergence de la suite était indépendante de la valeur de u_0

[mathophilie]

Pour cette limite :

3. $ \frac{xsinx}{1 - cosx} $ en 0

Je sais pas trop si j'ai le droit, mais je trouve ça :

SPOILER:

$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xsinx}{1 - cosx} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x}{1 - cosx} $

De plus $ \frac{sin^2x}{1 - cosx} = \frac{(2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}))^2}{1-1+2sin^2(\frac{x}{2})} $

D'où $ \frac{sin^2x}{1 - cosx} = \frac{4sin^2\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}}{2sin^2\frac{x}{2}} $

Donc $ \frac{sin^2x}{1 - cosx}= 2cos^2\frac{x}{2} $

Donc $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xsinx}{1 - cosx} =\lim_{x\rightarrow 0}2cos^2\frac{x}{2} = 2 $

[Magnéthorax]

$ \frac{x\sin x}{1-\cos x}=\frac{\sin x}{x}\frac{x^2}{1-\cos x} $

Mais bon, la limite en $ 0 $ de $ \frac{x^2}{1-\cos x} $ n'est pas exigible en terminale...

[mathophilie]

Comment on détermine la limite de $ \frac{x^2}{1-\cos x} $ ?

Bon en tout cas merci de cette méthode de résolution

Est-ce que j'ai le droit de faire ce que j'ai fait ci-dessus ?

[Yoki]

Pour cette limite :

3. $ \frac{xsinx}{1 - cosx} $ en 0

Je sais pas trop si j'ai le droit, mais je trouve ça :

SPOILER:

$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xsinx}{1 - cosx} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2x}{1 - cosx} $

De plus $ \frac{sin^2x}{1 - cosx} = \frac{(2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}))^2}{1-1+2sin^2(\frac{x}{2})} $

D'où $ \frac{sin^2x}{1 - cosx} = \frac{4sin^2\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}}{2sin^2\frac{x}{2}} $

Donc $ \frac{sin^2x}{1 - cosx}= 2cos^2\frac{x}{2} $

Donc $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{xsinx}{1 - cosx} =\lim_{x\rightarrow 0}2cos^2\frac{x}{2} = 2 $

Comment passes-tu de $ xsinx $ à $ sin^2x $ ?

$ \frac{x\sin x}{1-\cos x}=\frac{\sin x}{x}\frac{x^2}{1-\cos x} $

Mais bon, la limite en $ 0 $ de $ \frac{x^2}{1-\cos x} $ n'est pas exigible en terminale...

A parce qu'on doit s'arrêter à ce qui est exigible au bac? On va pas aller bien loin alors...
La limite peut-être trouvée avec les outils de terminale quoi qu'il en soit

[mathophilie]

Ben justement je ne sais pas si j'ai le droit ^^

Je me suis dit que x = sin(x) quand x=0 et qu'ils avaient le même sens de variation au voisinage de 0 (si on se place dans les intervalles [-pi;0] et [0;pi], du coup je me suis permis de remplacer x par sin(x) pour le calcul de limites ^^

[Yoki]

Edit: rien, ça risque de vous embrouiller

[JeanN]

Ton raisonnement marche aussi pour remplacer sin(x) par 2x...

[JeanN]

Ton raisonnement marche aussi pour remplacer sin(x) par 2x...

Observe plutôt la limite de $ \dfrac{\sin(x)}{x} $ en 0. C'est un taux d'accroissement connu.
Pour le reste, c'est pas mal mais transforme ton expression avant d'en présenter la limite car tu ne sais pas au début que la limite existe...