En fait si je comprends bien, prendre Xn avec n qui tend vers +inf ça revient à prendre x qui tend vers 0.alm a écrit :C'est vrai dans l'exemple mais en général, ce n'est pas toujours le cas (c'est justement ce que cherche l'auteur de la question mais il impose en plus un segment donc unintervalle compact).Jay Olsen a écrit :Sur un intervalle c'est trivial, car dérivée non bornée veut dire qu'elle est infinie en un point càd que la fonction n'est pas dérivable.. Exemple : racine sur [0,1].
- Sur un intervalle non forcément compact : $ f: ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x)=\ln(\cos(x)) $
- Même sur un segment (c'est ce que cherche l'auteur de la question):
On prends $ f: [-1,1] \to \mathbb{R}; x \mapsto \left\{\begin{array}{lcl} x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) &\text{si} & x \neq 0 \\ 0 &\text{si} & x= 0 \end{array} \right. $
En effet $ f'(0)=0 $ et si $ x \neq 0, f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac{2}{x} \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) $
Pour $ x_n=\sqrt{\frac{2}{(4n+1)\pi}}, n\in \mathbb{N}^* $, on a $ f'(x_n)=2x_n-\frac{2}{x_n} $, donc $ \lim\limits_{n \to +\infty} f'(x_n)=-\infty $, ce qui prouve que $ f' $ n'est pas bornée sur $ [-1,1] $
Si je ne me trompe pas $ g: x \mapsto x^2 \sin\left(\frac 1x \right) $ ne marche pas sur un segment, en effet: $ g'(0)=0 $ et si $ x \neq 0 $ alors $ g'(x)= 2x \sin \left(\frac 1x \right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right) $, donc $ |g'(x)| \leq 2\delta + 1 $ où $ \delta $ est le diamètre du segment en question, donc $ g' $ est bornée sur tout segment, contrairement à ce que cherche l'auteur du topic. Sauf erreur de ma part.
On trouve alors que la dérivée à droite de 0 est différente de celle que tu as énoncé en 0. Possible ?
