Convergence uniforme.
Convergence uniforme.
Bonjour, mon professeur nous a dit que d'une convergence uniforme d'une fonction f sur [a,+infini [ avec a quelquconque strictement positif on ne pouvait deduire la convergence uniforme de f sur ]0,+infini [. Je ne comprend absolument pas pourquoi vu que a est quelquconque et strictement positif. Pouvez vous m'aider svp ?
Re: Convergence uniforme.
Essaye de construire un contre-exemple, en gros le truc c'est que c'est possible de converger "de plus en plus lentement" quand tu te rapproches de 0. Par exemple tu prends $ x \mapsto e^{-nx}/x $ je pense que ca devrait marcher ie tu converges uniformément vers 0 sur tout intervalle [a>0, +$ \infty $ [, mais tu n'as pas convergence uniforme sur ]0; + $ \infty $ [ par contradiction avec la double limite.
Re: Convergence uniforme.
Je comprend le contre exemple mais Celà me paraît très bizarre car pour moi il n'y a pas de différence entre [a,b] avec a quelconque strictement positif et ]0,b]
Re: Convergence uniforme.
Dans le premier cas avec [a,b] t'es sur un segment donc il peut pas y avoir de probleme. Par contre lorsque que ton intervalle est ouvert par ex ]a,b] il peut y avoir des soucis en a.
C'est pareil que quand tu regardes la convergeance d'une integrale, tu te preocupes que des cotés ouverts.
C'est pareil que quand tu regardes la convergeance d'une integrale, tu te preocupes que des cotés ouverts.
Taupe (201)5
Re: Convergence uniforme.
Ecrit la définition avec des quantificateurs et des epsilons et constate que tu ne peux déduire la convergence uniforme sur ]0,b] de celle sur [a,b] pour tout a>0.gundertaker a écrit :Je comprend le contre exemple mais Celà me paraît très bizarre car pour moi il n'y a pas de différence entre [a,b] avec a quelconque strictement positif et ]0,b]
En gros, dans le premier cas, tu veux pour tout epsilon un n0 tel que ...
Et dans le deuxième, pour tout epsilon et pour tout a>0, il existe un n0 (dépendant de a) tel que...
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Convergence uniforme.
Considérons, par exemple, la suite $ (f_n) $ d'applications de $ [0,1] \to \mathbb{R} $ définies par: $ f_n(t)=5(1-t)^n $.
$ (f_n) $ converge simplement vers $ f $ sur $ [0,1] $ avec $ f(t)=\left\{\begin{array}{lcl}5&\text{si}&t=0\\0&\text{si}&0<t\leq 1\end{array}\right. $
les $ f_n $ sont toutes continues sur $ [0,1] $ alors que $ f $ n'est pas continue sur $ [0,1] $, donc la convergence n'est pas uniforme sur $ [0,1] $
Même si $ f $ est continue sur $ ]0,1] $, il n'y a pas non plus convergence uniforme sur $ ]0,1] $
Raison : $ \sup\limits_{t\in [0,1]} |f_n(t)-f(t)| =\sup\limits_{t\in ]0,1]} |f_n(t)-f(t)|=5 $ et ceci à cause du point $ 0 $ , qui même si n'appartient pas à $ ]0,1] $ lui est adhérent.
C'est le point $ 0 $ qui empéche la distance maximale de tendre vers $ 0 $, puisqu'elle vaut $ 5 $ qui est la limite de $ 5(1-t)^n $ quand $ t $ tends vers $ 0 $ à droite.
Donc la meilleure façon d'empêcher cela est d'isoler complétement ce point, en prenant par exemple un intervalle de la forme $ [a,1] $ ave $ 0<a \leq 1. $, ce qui donne cette fois-ci une limite valant $ 5(1-a)^n $, qui elle tends vers $ 0 $ quand n tends vers $ +\infty $.
Autrement dit on n'évite pas $ 0 $ en ouvrant l'intervalle car un point adhérent à un ensemble , même s'il ne lui appartient pas peut générer la borne supérieure d'une fonction définie sur cet ensemble ...
$ (f_n) $ converge simplement vers $ f $ sur $ [0,1] $ avec $ f(t)=\left\{\begin{array}{lcl}5&\text{si}&t=0\\0&\text{si}&0<t\leq 1\end{array}\right. $
les $ f_n $ sont toutes continues sur $ [0,1] $ alors que $ f $ n'est pas continue sur $ [0,1] $, donc la convergence n'est pas uniforme sur $ [0,1] $
Même si $ f $ est continue sur $ ]0,1] $, il n'y a pas non plus convergence uniforme sur $ ]0,1] $
Raison : $ \sup\limits_{t\in [0,1]} |f_n(t)-f(t)| =\sup\limits_{t\in ]0,1]} |f_n(t)-f(t)|=5 $ et ceci à cause du point $ 0 $ , qui même si n'appartient pas à $ ]0,1] $ lui est adhérent.
C'est le point $ 0 $ qui empéche la distance maximale de tendre vers $ 0 $, puisqu'elle vaut $ 5 $ qui est la limite de $ 5(1-t)^n $ quand $ t $ tends vers $ 0 $ à droite.
Donc la meilleure façon d'empêcher cela est d'isoler complétement ce point, en prenant par exemple un intervalle de la forme $ [a,1] $ ave $ 0<a \leq 1. $, ce qui donne cette fois-ci une limite valant $ 5(1-a)^n $, qui elle tends vers $ 0 $ quand n tends vers $ +\infty $.
Autrement dit on n'évite pas $ 0 $ en ouvrant l'intervalle car un point adhérent à un ensemble , même s'il ne lui appartient pas peut générer la borne supérieure d'une fonction définie sur cet ensemble ...
Re: Convergence uniforme.
Fail , tu peux Prendre f(x) = Zeta(x+1) ou Zeta ici veut bien dire la fonction de zéta Riemann , désapprouver la convergence uniforme sur ]0,+oo[ sera l'objet d'une petite comparaison entre série et intégrale