Voici l'énoncé :
On considère l'équation (E) : tanx = x
1.a) Prouver que pour tout $ n\in\mathbb{Z} $, l'équation (E) admet une unique solution, notée $ x_n $ dans l'intervalle $ I_n = ]-\frac{\pi}{2} +n\pi , \frac{\pi}{2} +n\pi[ $
b) Vérifier que pour tout n entier, on a : $ -x_n = x_{-n} $
2. On suppose désormais n strictement positif. On définit ainsi la suite $ (x_n)_{n\in\mathbb{N*}} $ des solutions de (E) dans $ \mathbb{R^{+*}} $
Vérifier que l'on a pour tout $ n\in\mathbb{N^*}, n\pi < x_n < \frac{\pi}{2} +n\pi $. En déduire un équivalent de $ x_n $ au voisinage de $ +\infty $
3.a) Pour tout $ n\in\mathbb{N^*} $, on pose $ x_n = n\pi(1 + \alpha_n) $. Justifier cette écriture et donner la limite de la suite $ (\alpha_n)__{n\in\mathbb{N^*}} $.
b) Prouver que pour tout $ n\in\mathbb{N^*}, arctan(x_n) = n\pi\alpha_n $
c) En déduire un équivalent de $ \alpha_n $ au voisinage de $ +\infty $
Montrer qu'il existe une constante a réelle telle que : $ x_n = n\pi + a + o(1) $ lorsque n tend vers $ +\infty $. On donnera la valeur de a.
Pour la question 1.a) j'ai montrer que f(x) = tanx - x admet une unique solution égale à 0 (j'ai dérivé f(x), j'ai montré que f était strictement croissante et donc d'après le théorème de la bijection......).
Pour la question 1.b) j'aurais bien raisonné par récurrence, mais je ne sais pas quoi faire de ce $ x_n $
Merci d'avance pour votre aide
